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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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模型一:勾股树模型
例1.1
1.如图,以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB=,则图中阴影部分的面积为()
A. B. C. D.5
变式1.1-1
2.如图,分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形,面积分别记为S1,S2,S3.若S1?36,S2?64,则S3?(??)
??
A.8 B.10 C.80 D.100
变式1.1-2
3.三个正方形的面积如图所示,则面积为的正方形的边长为(????)
??
A.164 B.36 C.8 D.6
例1.2
4.下图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若最大正方形G的边长是6cm,则正方形A,B,C,D,E,F,G的面积之和是()
A.18cm2 B.36cm2 C.72cm2 D.108cm2
变式1.2-1
5.如图,这是一株美丽的勾股树,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3,则最大正方形E的边长是()
A.13 B. C.47 D.
变式1.2-2
6.有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在他的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了上图,如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是(??)
A.1 B.2021 C.2020 D.2019
模型二:赵爽弦图模型
赵爽弦图的由来:三国时期吴国的数学家赵爽创制了这幅“赵爽弦图”,用数形结合的方式,最早完成了对勾股定理的证明.正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成,设的长为的长为的长为b,
,整理得到.
四个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的图案,大正方形面积为49,小正方形面积为4,若x、y表示直角三角形的两直角边(x>y),则有:
(1)x2+y2=49勾股定理
(2)x-y=2小正方形边长=长直-短直
(3)2xy+4=49面积算两次
例2.1
7.设直角三角形的较长直角边长为x,较短直角边长为y.若xy=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为(????)
A.9 B.6 C.4 D.3
变式2.1-1
8.如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB=10,EF=2,那么AH等于(????)
A.8 B.6 C.4 D.5
变式2.1-2
9.如图,有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若大正方形的面积是17,小正方形的面积是5,直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,则ab的值是(????)
A.4 B.6 C.8 D.10
变式2.1-3
10.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为()
A.3 B.4 C.5 D.6
变式2.1-4
11.由4个直角边长分别为a,b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示.
根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a-b)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2=c2,还可以用来证明结论∶若a>0,b>0且a2+b2为定值,则当a____b时,ab取得最大值.
拓展:如图所示,在正方形的四边上分别取点,使得,
(1)求证:四边形是正方形.
(2)若,求证四边形是正方形.
模型三:风吹树折模型(雷劈模型)
12.“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”,源自《九章算术》,原文为:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.问折者高几何?”意思是:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部3尺远,则折断后的竹子高度为多少尺?(1丈=10尺)
例3
13.如图,一竖直的木杆在离地面4米处折断,木杆顶端落在地面离木杆底端3米处,木杆折断之前的高度为(????).
A.7米 B.8米 C.9米 D.12米
变式3-1
14.一棵大树在一次强台风中于离地面米处折断倒下,倒下部分与地面成夹角,这棵大树在折断前的高度为(??)
A.米 B.米 C.米 D.米
变式3-2
15.如图,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树干底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是()
A.8米 B.12米
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