《重积分的换元法》课件.pptxVIP

重积分换元法概述重积分换元法是一种常用的求解重积分的方法，其基本思想是将原积分域上的积分转化为另一个积分域上的积分，使积分计算更简便。wsbywsdfvgsdsdfvsd

换元法的基本思想1坐标变换通过引入新的坐标系，将原积分区域转换为更简单的区域。2函数变换将原被积函数转换为更易于积分的函数。3积分转化利用雅可比行列式将原重积分转化为新坐标系下的积分。

换元法的适用条件积分区域形状当积分区域形状复杂，使用原始坐标难以直接计算时，可以考虑换元法。被积函数形式当被积函数中含有复杂表达式，通过换元可以简化积分计算过程时，可以使用换元法。坐标系变换当通过坐标系变换可以将积分区域简化为更简单的形状或将被积函数简化为更易积分的形式时，可以使用换元法。

换元法的一般公式二重积分设区域D在xOy平面上，进行坐标变换：变换公式x=x(u,v),y=y(u,v)二重积分换元?Df(x,y)dxdy=?Df(x(u,v),y(u,v))|J|dudv雅可比行列式J=?(x,y)/?(u,v)=|?x/?u?x/?v|

换元法的几何意义换元法可以理解为将积分区域进行变换，将一个复杂的积分区域转化为另一个更简单的积分区域，从而简化积分计算。通过坐标变换，可以将原积分区域映射到新的积分区域，同时改变积分变量和微元，使积分计算变得更加容易。

换元法的应用举例1求解二重积分?D(x2+y2)dxdy，其中区域D是由直线x+y=1,x=0,y=0围成的三角形区域。我们用极坐标变换来计算这个二重积分。设x=rcosθ，y=rsinθ，则雅可比行列式为r。新区域的积分区域为0≤r≤1/sin(θ+π/4)，0≤θ≤π/4。因此，二重积分变为:?D(x2+y2)dxdy=∫0π/4∫01/sin(θ+π/4)r3drdθ。

换元法的应用举例2设要计算二重积分?(x^2+y^2)dxdy，其中积分区域D是由直线y=x,y=2x和曲线y=√x围成的图形。我们可以使用极坐标变换来简化积分计算。令x=rcosθ，y=rsinθ，则积分区域D在极坐标系中对应于0≤θ≤π/4，0≤r≤2cosθ。根据极坐标变换公式，dxdy=rdrdθ，代入原积分，并进行积分计算，即可得到积分值。

换元法的应用举例3设积分区域D由曲线y=x,y=x2,x=1围成。计算二重积分∫∫Dx2ydxdy。我们可以用极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ来简化积分区域和被积函数。积分区域D在极坐标下对应于1≤r≤sinθ,0≤θ≤π/4。二重积分可化为∫0π/4∫1sinθ(rcosθ)2(rsinθ)rdrdθ。

换元法的应用举例4计算二重积分,其中积分区域D为由直线y=x,y=2x和x=1所围成的三角形区域.首先，我们进行变量代换u=x,v=y/x.该变换将积分区域D变换为矩形区域D*={(u,v)|1≤u≤2,1≤v≤2}.然后，我们求出雅可比行列式.最后，我们根据换元公式，将原积分转化为对矩形区域D*的积分，并进行计算.

换元法的应用举例5计算二重积分?D(x2+y2)dxdy，其中D是由直线x+y=1，x=0，y=0所围成的三角形区域。采用极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ。由于D是第一象限的三角形区域，因此极角θ的取值范围为0≤θ≤π/4，半径r的取值范围为0≤r≤1/cosθ。雅可比行列式为：|J|=r。积分化为：?D(x2+y2)dxdy=∫0π/4∫01/cosθr3drdθ=∫0π/4(1/4cos4θ)dθ=1/16。

换元法的应用举例6例6：求二重积分?(x^2+y^2)dxdy，其中积分区域D是由直线x+y=1，x=0，y=0所围成的三角形区域。解：利用极坐标变换，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，则积分区域D在极坐标系下对应于0≤ρ≤1，0≤θ≤π/4。因此，二重积分可化为：?(x^2+y^2)dxdy=∫(0,π/4)∫(0,1)ρ^2*ρdρdθ=∫(0,π/4)[ρ^4/4]|(0,1)dθ=∫(0,π/4)1/4dθ=π/16。

换元法的应用举例7求二重积分∫∫(x^2+y^2)dxdy，积分区域D由曲线x^2+y^2=1和x^2+y^2=4围成。该积分区域D是圆环形区域，可以利用极坐标进行换元。将x和y用极坐标r和θ表示：x=rcosθ，y=rsinθ，则积分区域D可以表示为1≤r≤2，0≤θ≤2π。同时，积分元dxdy也需要