Romberg积分及初值问题课件.ppt

*例4计算积分精确到10-4。解****于是由于实际上**简单的数值方法与基本概念1.简单欧拉法（Euler）2．后退的欧拉法3．梯形法4．改进Euler法§2、初值问题的数值解法―单步法*1.简单的欧拉(Euler)方法考虑模型：在精度要求不高时通过欧拉方法的讨论弄清常微方程初值问题数值解法的一些基本概念和构造方法的思路.欧拉方法最简单而直观实用方法*2.欧拉方法的导出把区间［a,b］分为n个小区间步长为要计算出解函数y(x)在一系列节点节点处的近似值N等分*对微分方程(1.1)两端从进行积分*右端积分用左矩形数值求积公式得*x0x1亦称为欧拉折线法/*Euler’spolygonalarcmethod*/每步计算只用到或用向前差商近似导数依上述公式逐次计算可得：故也称Euler为单步法。公式右端只含有已知项所以又称为显格式的单步法。*例1用欧拉公式求解初值问题解取步长h=0.1，欧拉公式的具体形式为其中xn=nh=0.1n(n=0,1,?,10),已知y0=1,由此式可得*依次计算下去，部分计算结果见下表.与准确解相比，可看出欧拉公式的计算结果精度很差.xn欧拉公式数值解yn准确解y(xn)误差0.20.40.60.81.01.1918181.3582131.5089661.6497831.7847701.1832161.3416411.4832401.6124521.7320510.0086020.0165720.0257260.0373310.052719*欧拉公式具有明显的几何意义,就是用折线近似代替方程的解曲线，因而常称公式(2.1)为欧拉折线法.还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度.假设yn=y(xn),即顶点Pn落在积分曲线y=y(x)上，那么，按欧拉方法做出的折线PnPn+1便是y=y(x)过点Pn的切线.从图形上看,这样定出的顶点Pn+1显著地偏离了原来的积分曲线，可见欧拉方法是相当粗糙的.*定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。Ri的主项/*leadingterm*/?欧拉法的局部截断误差：欧拉法具有1阶精度。定义在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y(xi+1)?yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。*5.欧拉公式的改进：?隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似导数x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+?)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。?隐式欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有1阶精度。*设用欧拉公式给出迭代初值，用它代入(2.5)式的右端，使之转化为显式，直接计算得然后再用代入(2.5)式，又有如此反复进行，得*6.梯形公式/*trapezoidformula*/—显、隐式两种算法的平均注：的确有局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。?中点欧拉公式/*midpointformula*/中心差商近似导数x0x2x1假设，则可以导出即中点公式具有2阶精度。需要2个初值y0和y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法/*double-stepmethod*/，而前面