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第十四章整式的乘法与因式分解
14.1整式的乘法
14.1.1同底数幂的乘法
学习目标
1.理解并掌握同底数幂的乘法法则.(重点)
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.(难点)
3.通过对同底数幂的乘法运算法则的推导与总结,提升自身的推理能力.
问题引入:
在2、3、4三个数字中任选2个(每个数字只
能出现1次)组成算式,你能表现出运算结果最大的那个式子吗?
底数可以是单项式也可以是多项式
练一练:指出下列各式中各幂的底数
an表示的意义是什么?其中a、n、an分
别叫做什么?
(-3)²-a³(a-b)⁵
a¹=a·a·…·g
→指数
n个a
底数
an
1
2
幂
新知探究
→探究点1:同底数幂相乘
问题1:一种电子计算机每秒可以运行一千万亿(1015)
次运算,它工作10³s可进行多少次运算?
(1)根据题意,怎样列算式?1015×10³
(2)这个乘法中的因式都是什么形式?
1015和10³这两个因式底数相同,是同底数的幂的形式。
(3)根据乘方的意义,想一想如何计算1015×10³?
1015×10³=(10×10×…×10),×(10×10×10)
=10×10×…×10
18个10
=1018(乘方的意义)
15个103个10
(乘法的结合律)
(乘方的意义)
探究:
根据乘方的意义填空,观察计算结果,你能发现什么规律?
(1)25⁵×2²=2(7)
2⁵×2²=(2×2×2×2×2)×(2×2)=27
(2)a³·a²=a(5)
a³.a²=(aa·a)·(a·a)=a⁵
(3)5m×5”=5(m+n)(m,n都是正整数)
5“×5”=(5×5×...×5)×(5×5×..×5)
m个5n5
=5×5×…×5,=5m+n
(m+n)个5
猜一猜:am·a=am+n(m,n都是正整数)
(乘法的结合律)
(乘方的意义)
(乘方的意义)
证一证
=(aa·…a)
(m+n)个a
=am+n
要点归纳:
◆同底数幂的乘法法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加
注意
条件:①乘法
②底数相同
结果:①底数不变
②指数相加
类比同底数幂的乘法法则am·an=am+n(m,n都是正整数)
a²·a⁶·a³=a⁸·a³=a¹1
想一想:当三个或三个以上同底数幂相乘时,是否也
具有这一性质呢?用字母表示am·an·aP等于什么呢?
随堂练习
1.口算
(1)10⁵×106
(2)a7.a³
(3)x5·x7
(4)(-b)³·(-b)²-b5
1011
a10
x12
随堂练习
2.大家一起来“找茬”
(1)x³·x⁴=x12X
(2)b³+b³=b⁶Xa=a¹
(3)a·a⁵·a³=a⁸X
(4)a⁵·b³=(ab)⁸×
(5)5³×5⁶=59√
典例精析
例1计算:(1)x²·x⁵
(2)(m-n)³·(m-n)⁵
解:(1)原式=x²+5=x⁷
(2)原式=(m-n)³+5=(m-n)⁸
随堂练习
3.计算:
(1)xm·x³m+1;(2)-a¹0·a⁵;
(3)(-2)×(-2)⁴×(-2)³;(4)(a+b)⁴·(a+b)⁷.
解:(1)原式=xm+3m+1=x4m+1
(2)原式=-a10+5=-a15
(3)原式=(-2)1+4+3=(-2)⁸=2⁸=256
(4)原式=(a+b)4+7=(a+b)¹1
典例精析
例2计算:(-x)³·x·(-x)²
解:原式=(-x³)·x·x²
=-x3+1+2=-x6
试一试:
(-a)²·(-a)⁵·a
底数不同但互为相反数的
幂的乘法,可以转化为同底数幂的乘法.
探究点2:同底数幂乘法法则的逆用
想一想:am+n可以写成哪两个因式的积?
am+n=am·an.
填一填:若xm=3,xn=2,则
(1)xm+n=xm×xn=3×2二6
;
(2)x²m=xm×xm=3×3=9;
(3)x2m+n=x²m×xn=9X2=18
拓展训练
(1)已知xa=8,xb=9,求xa+b的值;
解:xa+b=xa·xb=8×9=72
(2)已知a
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