常微分方程的基本概念课件.pptxVIP

1.微分方程的基本概念2.一阶常微分方程3.二阶线性微分方程

学科背景十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量需要寻求函数关系的问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要根据具体问题的条件和某些物理定律，首先得到一个或几个含有未知函数的导数的关系式，即微分方程，然后由微分方程和某些已知条件把未知函数求出来。

问题的提出：A.求曲线方程解

B.质点自由下落一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求质点下落距离S与时间t的函数关系。解：将质点的初始位置取为原点，沿质点运动方向取正向。已知自由落体的加速度为g,即：

5.1微分方程的基本概念定义1:含有未知函数的导数的方程称为微分方程.未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微分方程称为常微分方程.例如未知函数是多元函数,含有未知函数的偏导数的微分方程称为偏微分方程.

定义2:(微分方程的阶)未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.二阶例如一阶二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.

定义3:(微分方程的解)微分方程的通解：称为微分方程的通解.通解中各任意常数取特定值时所得到的解称为特解.

定义5:(积分曲线与积分曲线族)积分曲线族

1.微分方程的通解和特解有何区别和联系?2.判断下列函数是否是微分方程的解，是通解还是特解?(2)(1)(3)(4)

§5.2一阶常微分方程主要类型1.变量可分离型2.可化为可分离变量3.一阶线性方程

可分离变量的微分方程如果一阶微分方程这类方程的解法，通常是先将变量分离，再两边积分即可.

这两个方程的共同特点是变量可分离型分离变量两边积分通解

(1)[解]分离变量两边积分即于是得到方程通解

(2)[解]分离变量两端积分,得通解奇异解

例设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,求降落伞下落速度与时间的函数关系.解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得t足够大时利用初始条件,得代入上式后化简,得特解

5.2.2可化为可分离变量的方程解齐次方程时,通常用变量替换法,即将齐次方程化为可变量分离的方程.

这两个方程的共同特点是什麽?齐次型方程可化为求解方法可分离变这是什麽方程？！量方程

分离变量两端积分由此又得到通解

两端积分得通解

例3解

例在制造探照灯反射镜面时要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.解:设光源在坐标原点,取x轴平行于光线反射方向,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角可得?OMA=?OAM=?从而AO=OM而AO于是得微分方程:

利用曲线的对称性,不妨设y0,于是方程化为(齐次方程)积分得故有得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.

说明:若已知反射镜面的底面直径为d,顶到底的距离为h,则将代入通解表达式得这时旋转曲面方程为

5.3一阶线性微分方程标准形式：非齐次齐次(1)如何解齐次方程？分离变量解得齐次通解

(2)用常数变易法解非齐次方程假定(1)的解具有形式将这个解代入(1),经计算得到

化简得到即积分从而得到非齐次方程(1)的通解非齐次通解

齐次通解非齐次通解

例1求的通解。解原方程化为其中

例2.解方程解：利用求解公式

练习：求

利用熟悉的微分公式，通过凑微分的方法将微分方程变为某些函数的微分形式。例如

[解]凑微分通解

[解]改写为通解为