2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义专题04 方程与不等式（学生版） .pdf

专题04方程与不等式

【知识点梳理】

知识点1：二元二次方程组的解法

方程J+2xy+y2+x+y+6=0

是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次

方程.其中2封，叫做这个方程的二次项，X,y叫做一次项，6叫做常数项.

我们看下面的两个方程组：

]尤2_4y2+x+3y-l=0x2+y2=20

[2x-y-l=0x2-5xy+6y2=0

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方

程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组.

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法.

一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解.

知识点2：—元二次不等式的解法

为了方便起见，我们先来研究二次项系数々0时的一元二次不等式的解.

我们知道，对于一元二次方程履+Zzx+c=0（q0）,设=b2-4ac，它的解的情形按照〉0,=0,0

分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物

y=ax2+bx+c（a0）与工轴分别有两个公共点、一个公共点和沿有公共点（如图2.3-2所示），因此，我们

可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式q/+fcv+c〉0（Q〉0）与心2+弘+。0（】〉0）的解.

02.3-2

⑴当左0时，抛物y=ax2+bx+c（a0）与尤轴有两个公共点（也,0）和（如0）,方程破之+版+。=0有

两个不相等的实数根M和%2（%!%2）,由图2.3-2①可知

不等式ax2+Zzx+c0的解为尤vjq,或jt易；

不等式ax2+for+cv0的解为xx2.

(2)当△=()时，抛物y=ax2+bx+c(a0)与x轴有且仅有一个公共点，方程a^+bx+c=0有两个相

等的实数根皿=花=-之，由图2.3-2②可知

勺2

h

不等式破2+/zx+c0的解为X；

2a

不等式ax2+bx+c0无解.

(3)如果△(),抛物y=ax2+bx+c(a0)与工轴没有公共点，方程ax2+bx+c=0没有实数根，由图

2.3-2③可知

不等式ax^+bx+o0的解为一切实数；

不等式心2+cvO无解.

今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二

次项系数小于雪，则可以先在不等式两边同乘以-,将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面

的结论去解不等式.

【题型归纳目录】

题型一：一元二次不等式的解法

题型二：二元二次方程组的解法

【典例例题】

题型一：一元二次不等式的解法

例.解不等式：-2x2+x+l0

例2.解不等式：x2-x-60;

例3.求下列不等式的解集.

(1)x2-5x+60；

(2)-2x2+5x-30;

(3)x2-6x+90；

(4)%2+x+10.

变式1・求不等式的解集:

()f2+4x+50;

(2)2x2-5x+20;

题型二：二元二次方程组的解法

工2一2xy+2=1

例4.（2023.上海静安.八年级上海市回民中学校考期中）解方程组：

(尤+2y)2—3(尤+2)=10