希尔伯特空间中的规范正交系课件.pptVIP

§3希尔伯特空间中的规范正交系主要内容一规范正交系二傅里叶系数三完全规范正交系四Hilbert空间的同构

一规范正交系元素的正交性在内积空间和Hilbert空间中扮演着十分重要的角色.在维欧氏空间,选定个相互正交的向量,则形成维空间中的一组正交基,也就是说在空间中建立了一组坐标系,空间中的任何一个元素都可以由这组坐标的线性组合表示出来.

其中,并且向量的长度在一般的内积空间中也可以类似地引入正交基、投影和坐标系等十分重要的概念,建立起一套完整的空间坐标理论.

定义1设是内积空间的一个不含零子集,若中向量两两正交,则称为中的正交系,又若中向量的范数都为1,则称为中的规范正交系.例1为维欧氏空间,则向量集为中规范正交系,其中

例2在空间中,定义内积为则三角函数系为中规范正交系.所以内积空间中规范正交系是正交函数系概念的推广.

正交系的基本性质.(1)对正交系中任意有限个向量,有事实上,由于中向量两两正交,所以

(2)正交系是中线性无关子集.事实上,设,而且,为个数,则对任何,有其中由于,因此,所以线性无关.从而说明是中线性无关子集.

定义2设是赋范线性空间,是中的一列向量,是一列数,作级数称为级数(3)的项部分和,若存在,则称级数(3)收敛,,使并称为级数的和,记为

若为中规范正交系,是中有限或可数个向量,且,则对每个自然数,由内积连续性,可得所以

二傅里叶系数定义3设为内积空间中的规范正交系,,称数集为向量关于规范正交系的傅里叶系数集,而称例3设数系,记为关于傅里叶系数.为例2中三角函

对任何集即为关于的傅里叶系数

所以内积空间中向量关于规范正交系的傅里叶系数实际上是数学分析中傅里叶系数概念的推广.

傅里叶系数的性质引理1设是内积空间,是中规范正交系,任取中有限个向量,则有其中为任意个数.

证明因对任意个数,有

令,代入上式即得(1).另一方面,由上式及结论(1)又有由此知(2)成立.

定理1(Bessel不等式)设是内积空间中的有限或可数规范正交系,则对,有证明如果中只有有限个向量,则由引理1的(1)立即可得.当可数时,只要在引理1的(1)中令,则可得(4)式.如果Bessel不等式中等号成立,则称此等式为Parseval等式.

引理2设为Hilbert空间中可数规范正交系,则(1)级数收敛;收敛的充要条件为级数(2)若,则,故(3)对任何,级数收敛.

证明(1)设,由于为规范正交系,所以对任何正整数和,且,有所以是中柯西点列的充要条件为是柯西点列,由和数域的完备性知,(1)成立.

(2)前已证明.(3)由Bessel不等式知,级数收敛,由(1)及(2),知级数收敛.推论1设是中可数规范正交系,则对任何,证明因对,级数收敛,所以.

下面讨论一般规范正交系的Bessel不等式.设是中规范正交系,其中为一指标集,则对任一,中使的指标至多只有可数个.事实上,由Bessel不等式,易知对任何正整数,使的指标至多只有有限个,所以集至多为可数集.

由此可以形式地作级数其中和式理解成对所有使的指标相加,因此Bessel不等式可以写成

三完全规范正交系定义4设是内积空间中的规范正交系,如果则称是中的完全规范正交系.定理2设是Hilbert空间中的规范正交系,则完全的充要条件为完全规范正交系类似于维欧式空间中的标准正交基..

定理3是Hilbert空间中完全规范正交系的充要条件为对所有,成立Parseval等式.证明充分性设Parseval等式对所有成立,假设不完全,由定理2,存在.所以对任何,有有Parseval等式,由于对该所以,即,这与矛盾.

必要性设是中完全规范正交系,对任何,设其非零傅里叶系数为由引理2,级数收敛,设其和为,则对任何正整数,有

又对中一切使的向量,有因此.由的完全性,得到,即,所以,由此得到即Parseval等式成立.

由定理3的证明可以看出,当是Hilbert空间中完全规范正交系时,则中每个向量都可以展开成级数(9)式称为向量关于完全规范正交系的傅里叶展开式.它类似于维欧式空间中的任一向量关于标准正交基的线性组合表示.

推论2是Hilbert空间中规范正交系，若Parseval等式在的某个稠密子集上成立,则完全.证明设,则是中闭线性子空间,因在上Parseval等式成立,由定理3,易知对中每个向量,都有所以,从而,由于是闭线性子空间,

故有,但因,所以,即是中完全规范正交系.证毕.利用推论2可证明三角函数