基本不等式教学设计.doc

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《基本不等式》教学设计

教材：人教版《普通高中教科书·数学（A版）》必修第一册

课题：2.2基本不等式（第一课时）

一.教学内容分析

《基本不等式》是高中教材人教A版必修一第二章第二节的内容，是在系统地学习了等式性质和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，是从几何背景（赵爽弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。

基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式。在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。

因此，我认为本节课的教学重点为：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

二．教学目标设置

《课程标准》对本节课的要求有以下两条：=1\*GB3①探索并了解基本不等式的证明过程；=2\*GB3②会用基本不等式解决简单的最值问题。根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：

（1）通过观察图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；

（2）让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，体会数形结合的数学思想。

（3）通过运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，加深学生对基本不等式的理解，认识数学的对称性与完整性。

三．学生学情分析

学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式。同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力。这些都为学习本节内容奠定了基础。

在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难，一时很难接受；从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理解；对于变量存在和或者积为定值也需仔细观察，在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽视。另外，教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力，而且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现。因此，我以为本节课的教学难点为：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。

四．教学策略分析

本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。

五.教学过程设计

1.创设情境

【引言】右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像个风车，代表了中国人民的热情好客，欢迎来自世界各地的数学精英们;同时，将直角三角形融于人们熟悉的正方形之中，也代表着中国人的敦厚方正。

【思考1】这会标中含有哪些几何图形？

【思考2】你能否在这个图案中找出一些面积的相等关系或不等关系？

（教师改变弦图中两直角边的长度，展示运动变化的弦图，请学生观察并归纳：

，得）

【设计意图】介绍国际数学家大会以及赵爽的相关背景，体现数学的文化价值，渗透爱国主义教育。一方面展现赵爽弦图的构图巧妙、精致，是数与形的完美统一；另一方面为提出弦图中面积间的不等关系做铺垫，体会相对关系与不等关系的辩证统一。同时，通过运动变化将直观的面积关系转化为隐含的数值关系。

【归纳】由图形可知，对于两直角边，有。

【思考3】上式中何时等号成立？

(请学生说明：当时,；当，。教师归纳:当且仅当时，等号成立，教师说明的含义。）

当且仅当：就是指在这种情况下，并且仅仅在这种情况下。

【探究1】由几何图形归纳得到的上式，可知其对正实数是成立的，那么对任意实数，上式都成立吗？请证明自己的结论。

（请学生自主探究完成证明，学生比较自然的想到用“比较法”证明。教师利用投影仪展示学生的完整证明过程。强调和两种情况，再次强调“当且仅当”）

【归纳】由图形中面积间的不等关系，我们发现了两实数间的这一事实：对任意实数，有，当且仅当时，等号成立。我们将这一不等式称之为重要不等式。

文字表述：两数的平方和不小于它们积