2023年新高二暑期数学衔接（新人教版）第13讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（教师版） .pdf

第13讲直线与圆、圆与圆的位置关系

―【学习目标】

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题

【基础知识】

一、直线与圆的位置关系

设圆。：3-。)2+(、-/)2二产(尸0),直线Z:Ax+By+C=O,圆心C(o力)到直线I的距离d=,

由消去y(或尤),得到关于戏或y)的一元二次方程，其判别式为A.

位置关系相交相切相离

公共点个数210

几何法drd=rdr

代数法』〉0J=0J0

二、圆的切线

1.若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

2.若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

3.若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

4.过点P3o,yo)的圆的切线方程的求法

(1)若点P在圆上，求点户与圆心连线的斜，若斜存在且不为0,记为化则切线斜为若

斜为0,则切线斜不存在;若斜不存在，则切线斜为0.

(2)若点P在圆外，设切线斜为云写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径,，解出k即

可(若仅求出一个上值，则有一条斜不存在的切线).

5.过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论

⑴若点P(xo,yo)在圆x2+y2=r2(r0)±,KlJ过点P的切线方程为g+yoy二户；

(2)若点P3o,yo)在圆3-。)2+3-人)2=产(尸0)上,则过点P的切线方程为摩Q)3o-Q)+(yW)(yo-b)二，；

(3)若点尸国其)在圆x2+y2+x+Ey+F=0(2+E2-4f0)±JO过点P的切线方程为g+yoy+也/

+£.2o±Z+f=O.

2

三、圆的弦长的方法

1.交点法:若直线与圆的交点坐标容易求出，则直接利用两点间的距离公式求解.

2.弦长公式:设直线l:y=kx+b与圆的两个交点分别为A(myi)£32,y2),将直线I的方程代入圆的方程，消元后利

用根与系数的关系得弦长公式树-

(3)几何法:圆的半径八圆心到弦的距离弦长/三者之间的关系为产=/+[£[，即弦长心产*

四、利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法

1.由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关

知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的几何量有：

①关于心y的一次分式形式常转化为直线的斜；

②关于心y的一次式常转化为直线的截距；

③关于心y的二次式常转化为两点间的距离等.

2.转化成函数解析式，利用函数的性质解决.

3.利用三角代换，若点P(x,y)在圆(g)2+3W)2=/(z0)上，则设(。为参数),代入目

标函数，利用三角函数知识求最大(小)值.

五、圆与圆的位置关系

1.两圆的位置关系

外离、外切、相交、内切和内含.

2.两圆的位置关系的判定

⑴代数法:设两圆的一般方程为Ci：x2+y2+ix+Eiy+Fi=0(+-4氏〉0),。2：/+寸+£小+y+凡二

0(22+E22-4^0),联立得方程组消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程，则要求出方程组

的解进行判断),计算判别式』的值，按(2)的表中的标准进行判断.

(2)几何法:两圆的半径分别为,1/2,计算两圆连心线的长为4按表中标准进行判断.

位置关系外离外切相交内切内含

图示

公共点01210

个数

位置关系外离外切相交内切内含

△的值A0△=0