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第十二章机械振动机械波光

学案55机械振动用单摆测定重力加速度

一、概念规律题组

1．简谐运动的平衡位置是指()

A．速度为零的位置 B．回复力为零的位置

C．加速度为零的位置 D．位移最大的位置

2．悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期为2s，从最低点的位置向上运动时开始计时，它的振动图象如图1所示，由图可知()

图1

A．t＝1.25s时振子的加速度为正，速度为正

B．t＝1.7s时振子的加速度为负，速度为负

C．t＝1.0s时振子的速度为零，加速度为负的最大值

D．t＝1.5s时振子的速度为零，加速度为负的最大值

二、思想方法题组

3．如图2所示两木块A和B叠放在光滑水平面上，质量分别为m和M，A与B之间的最大静摩擦力为Ffm，B与劲度系数为k的轻质弹簧连接构成弹簧振子，为使A和B在振动过程中不发生相对滑动，则()

图2

A．它们的振幅不能大于eq\f(?M＋m?,kM)Ffm

B．它们的振幅不能大于eq\f(?M＋m?,km)Ffm

C．它们的最大加速度不能大于eq\f(Ffm,M)

D．它们的最大加速度不能大于eq\f(Ffm,m)

一、简谐运动的规律及应用

图3

情景：如图3所示，一水平方向的弹簧振子在BC之间做简谐运动．以此为例，试分析简谐运动的以下特征：

1．受力特征：回复力满足F＝－kx，即回复力大小与位移的大小成正比，方向与位移的方向相反．

2.运动特征：简谐运动是变速运动，位移x、速度v、加速度a都随时间按正弦规律周期性变化．当振子靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；当振子远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小．

3．能量特征：振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，机械能守恒．

4．对称性特征：

图4

(1)如图4所示，振子经过关于平衡位置O对称(OP＝OP′)的两点P、P′时，速度的大小、动能、势能相等．相对于平衡位置的位移大小相等．

(2)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′.

(3)振子往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等即tOP＝tPO.

【例1】一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点．t＝0时刻振子的位移x＝－0.1m；t＝eq\f(4,3)s时刻x＝0.1m；t＝4s时刻x＝0.1m

A．0.1m，eq\f(8,3)s B．0.1m，8

C．0.2m，eq\f(8,3)s D．0.2m，8

二、简谐运动的图象

图5

1．确定振动物体在任一时刻的位移．如图5所示，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝＋7cm，x2＝－

2．确定振动的振幅．图象中最大位移的值就是振幅，如图5所示，振动的振幅是10

3．确定振动的周期和频率．振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期．

由图5可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T＝0.2s，频率f＝1/T＝5Hz.

4．确定各质点的振动方向．例如：图5中的t1时刻，质点正远离平衡位置向正方向运动；t3时刻，质点正向着平衡位置运动．

5．比较各时刻质点加速度的大小和方向．例如：在图5中，t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1||x2|，所以|a1||a2|.

【例2】如图6所示为一

图6

弹簧振子的振动图象，试完成以下要求：

(1)写出该振子简谐运动的表达式．

(2)在第2s末到第3s末这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？

(3)该振子在前100s的总位移是多少？路程是多少？

三、单摆及周期公式

1．单摆振动的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，该公式提供了一种测定重力加速度g的方法．

2．l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心．

3．g为当地重力加速度．

4．T＝2πeq\r(\f(l,g))只与l及g有关，而与振子的质量及振幅无关．

特别提示

若单摆没有处于地球表面或所处环境为非平衡态，则g为等效重力加速度，大体有这样几种情况：(1)不同星球表面g＝GM/r2；(2)单摆处于超重或失重状态等效g＝g0±a，如轨道上运行的卫星a＝g0，完全失重，等效g＝0；(3)不论悬点如何运动还是受别的作用力，等效g的取值等于在单摆不摆动时，摆线的拉力F与摆球质量m的比值，即等效g＝F/m.

【例3】)将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物块．将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期．