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《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)

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P26

第一章 数理统计的基本概念

设总体X的分布函数为Fx，密度函数为fx，X，X

1 2

，…，X

n

为X的子样，求

最大顺序统计量X 与最小顺序统计量X 的分布函数与密度函数。

n 1

解：F

n

x PX

i

x PX

1

x，X

2

x，，X

n

x Fx n.

fx F

n n

x nFx

n1fx.

F x PX

1 i

x 1 PX

1

x，X

2

x，，X x.

n

1 PX

1

xPX

2

x PX x

n

1 1 PX

1

x 1 PX

2

x 1 PX x

n

1 1 Fx n

fx F x

1 1

n1 Fx n1fx.

设总体X服从正态分布N12，4，今抽取容量为5的子样X，X

1 2

子样的平均值X大于13的概率为多少？

，…，X

5

，试问：

子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？

（ii）i子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？

解： X~N12，4，n 5，

（i）

X~N12，.

45

4

45PX 13 1 P

4

5

X 12 13 12 1

13 12

1 1.12 1 0.86860.1314.

4545（ii）令

4

5

4

5

min

minX，X

1

，X，X，X

2 3 4 5

，X

max

max X，X

1

，X，X，X .

2 3 4 5

PX

min

10 1 PX

min

10 1 PX

1

10，X

2

10，，X 10

5

5

1 PX

i

10 1

5

1 PX

i

10 1 1 PX 10 5.

i1 i1

Y X 12~N0，1，

2

PX 10 P

X 12 10 12

2 2

P X 12

2

1 PY 1

1 PY 1 1 1 1 0.8413 0.1587.

PX

（ii）i

min

10 1 1 0.15875

1 0.42150.5785.

PX

max

15 1 PX

max

15 1 PX

1

15，X

2

15，，X

5

15 1

PX 15 1 PX 15 .

5 5

5 5

i1

PX

max

15 1 0.933195 1 0.7077 0.2923.

试证：

n

x a2i

n x x2i

nx a

2对任意实数a成立。并由此证明当a x时，n

x a2i

i1 i1 i1

达到最小。

n x x2

i

i1

nx2 nx2，其中x

i

i1

nx。

n i

i1

证明：（i）n

n

x a2 x

i i

x x a2 n

x x2i

x x x a x a2i

i1 i1 i1

n x x2i

i1

n

2x a x

i

i1

x nx a2

n x x2i

i1

2x a nx nx nx a2

n x x2i

i1

nx a2.

当a x时，n

x a2i

n x x2i

nx x2

n x x2达到最小。

i

i1 i1 i1

（ii）n x x2

x2 2xx x2

n n

x2 2x x

nx2

x2 2xnx nx2

nx2 nx2.

nni i i i i i i

n

n

i1 i1 i1 i1 i1 i1

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设X，X

1 2

，…，X

n

为正态总体X~N ，

2的样本，令d

1nX

n i

i1

，试证

2Ed ，Dd 1

2

22。

n

证明：①X~N ，2，则X

i

~N0，2.

Ed E

EX

nX

n i

i1

21

2

1nEXn i

21i1

21

y2

ye22dy

.

y2

ye22dy

2 e

y2

22d

y2

21i 0 2 0 22

21

2y22

2

y2

22

2

0

2Ed 1n

2

n

i1

②EX 2

i

1n .

22n

2

2

X E2X 2.

i i

DX EX

i i

2 E2X

i

2 2 2 1 2 2.

Dd