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河北省衡水市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题

本试卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则

A． B． C． D．

2．已知函数，则“”是“函数是奇函数”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知是单位向量，，则与的夹角为

A． B． C． D．

4．艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为

A． B． C． D．

5．已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则

A．2 B．3 C．5 D．6

6．已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为

A． B．2 C． D．

7．已知，则m，n的关系为

A． B． C． D．

8．已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．复数，其中，设在复平面内的对应点为，则下列说法正确的是

A．当吋， B．当时，

C．对任意，点均在第一象限 D．存在，使得点在第二象限

10．已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是

A． B．函数在区间上单调递减

C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数有5个零点

11．已知在正方体中，，点为的中点，点为正方形内一点（包含边界），且平面，球为正方体的内切球，下列说法正确的是

A．球的体积为 B．点的轨迹长度为

C．异面直线与BP所成角的余弦值取值范围为

D．三棱锥外接球与球内切

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．的展开式中的系数为______（用数字作答）

13．已知是函数的一条对称轴，在区间内恰好存在3个对称中心，则的取值范围为______．

14．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）某企业为调研旗下公司职工对加班宵夜的满意度情况，在该企业旗下一个某地子公司进行小范围调研试验，该试验从该小公司随机抽取50名男职工、30名女职工进行调研得到如下列联表：

性别

满意情况

合计

满意

不满意

男职工

25

25

50

女职工

25

5

30

合计

50

30

80

（1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析该子公司职工对加班宵夜的满意度是否与性别有关；

（2）若该企业有员工10000人，本次调研情况近似作为企业整体职工情况，频率近似概率．若该企业为加班宵夜满意的员工分发20元的打车补助，给不满意的员工分发30元的打车补助，求企业本次发放总费用数学期望．

附：

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

16．（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，四边形是矩形，，．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成角的余弦值．

17．（本小题满分15分）已知数列满足：．

（1）请写出的值，给出一个你的猜想，并证明；

（2）设，求数列的前项和．

18．（本小题满分17分）已知．

（1）求的单调区间和最值；

（2）定理：若函数在上可导，在上连续，则存在，使得．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：

若，求证：．

19．（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与交于A，B两点．直线与相切，切点分别为与轴的交点分别为D，E两点，且．

（1）求的方程；

（2）若点为上一动点（与A，B及坐标原点均不重合），直线与相切，切点为与，的交点分别为G，H．记的面积分别为．

①请问：以G，H为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；

②证明：为定值．

数学参考答案

1．B解析：，故，故选B．