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2023-2024学年上海市黄浦区格致中学高二(下)期末数学试卷
一、单选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.有N件产品,其中有M件次品,从中不放回地抽n件产品,抽到的次品数的数学期望值是(????)
A.n B.(n?1)MN C.nM
2.在研究线性回归模型时,样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,?,n)所对应的点均在直线y=?1
A.?1 B.1 C.?12
3.若直线y=kx?1与曲线y=?x2+4x?3恰有两个公共点,则实数
A.(43,+∞) B.[1,43)
4.定义区间[a,b],(a,b),(a,b],[a,b)的长度为b?a.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为m(其中m∈(0,e],e为自然对数的底数),那么称这个函数为“m函数”.下列四个命题:
①函数f(x)=ex+lnx不是“m函数”;
②函数g(x)=lnx?ex是“m函数”,且mem=1;
③函数?(x)=exlnx是“m函数”;
④函数
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
5.双曲线x29?
6.若一个球的表面积为π,则该球的半径为______.
7.已知函数f(x)=2x2+x,则f(3)=
8.设随机变量X服从二项分布B(9,13),则D[X]=
9.已知一个二胎家庭中有一个男孩,则这个家庭中有女孩的概率为______.
10.事件A、B互斥,它们都不发生的概率为25,且P(A)=2P(B),则P(B)=______.
11.若直线x+y+a=0与曲线y=x?2lnx相切,则实数a的值为______.
12.设随机变量X的分布?1012181
13.某区学生参加模拟大联考,假如联考的数学成绩服从正态分布,其总体密度函数为:f(x)=1σ2πe?(x?85)2
14.已知双曲线T:x2a2?y2=1(a0),任取双曲线Γ右支上两个不相同的点P1(
15.正项等比数列{an}中,a1与a4039是f(x)=x?mlnx?9
16.椭圆Γ:x22024+
三、解答题:本题共4小题,共40分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图,在正三棱柱ABC?A1B1C1中,已知AB=AA1=2,D是AB的中点.
(1)求直线CC1与DB1所成的角的大小;
18.(本小题10分)
某公司为了解服务质量,随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客,每位顾客对该公司的服务质量进行打分.已知这200位顾客所打的分数均在[25,100]之间,根据这些数据得到如下的频数分布表:
顾客所打分数
[25,40)
[40,55)
[55,70)
[70,85)
[85,100]
男性顾客人数
4
6
10
30
50
女性顾客人数
6
10
24
40
20
(1)估计这200位顾客所打分数的平均值(同一组数据用该组区间的中点值为代表).
(2)若顾客所打分数不低于70分,则该顾客对公司服务质量的态度为满意;若顾客所打分数低于70分,则该顾客对公司服务质量的态度为不满意.根据所给数据,完成下列2×2列联表,并根据列联表,判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关?
满意
不满意
男性顾客
女性顾客
附;K2
P(
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.(本小题10分)
设常数m0且m≠1,椭圆Γ:x2m2+y2=1,点P是Γ上的动点.
(1)若点P的坐标为(2,0),求Γ的焦点坐标;
(2)设m=3,若定点A的坐标为(2,0),求|PA|的最大值与最小值;
(3)设m=12,若Γ上的另一动点Q满足
20.(本小题10分)
已知函数f(x)=alnx?ax+1(a∈R).
(1)若经过点(0,0)的直线与函数f(x)的图像相切于点(3,f(3)),求实数a的值;
(2)设g(x)=f(x)+32x2?1,若函数g(x)在区间[32,4]为减函数时,求实数a的取值范围;
(3)对于函数g(x)=f(x)+32x2?1,若函数
参考答案
1.C?
2.A?
3.B?
4.B?
5.43
6.12
7.21?
8.2?
9.23
10.15
11.?2?
12.2?
13.1200?
14.[1,+∞).?
15.2?
16.24?
17.解:(1)∵CC1//BB1,∴∠BB1D是直线CC1与DB1所成的角,
在直角三角形B1BD中,tan∠BB1D=12,
∴直线CC1与DB1所成的角的大小为arctan12;
(2)∵BB1⊥平面ABC,CD?平面
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