(完整版)2020年中考数学动态问题折叠中图形存在性问题(含答案).doc

PAGE14

专题06动点折叠类问题中图形存在性问题

一、基础知识点综述

动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目.而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.

实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力.其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.

要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.

存在性问题

主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点.

解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论.

解题核心知识点：

折叠性质；

①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；

勾股定理；

相似图形的性质、三角函数等.

★等腰三角形存在性问题

解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕；

★直角三角形存在性问题

解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解.

二、精品例题解析

题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题

例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM=，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为

例2.（2017·蜀山区期末）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B= .

题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题

例3.（2017·营口）在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为．

例4.（2019·唐河县三模）矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△CEF为直角三角形时，AP的长为 .

例5.（2019·许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=16,AD=10，sinA=,点M为AB边上一动点，过点M作MN⊥AB交AD边于点N，将∠A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处.当△CDE为直角三角形时，AM的长为 .

例6.（2019·金水区校级一模）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点P为AC上一点，过点P作PD⊥BC于点D，将△PCD沿PD折叠，得到△PED，连接AE．若△APE为直角三角形，则PC＝．

例7.（2019·卧龙区一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于点E，将△AED沿DE翻折，点A的对应点为点F．如果△EFC是直角三角形，那么AD的长为．

例8.（2019·河南模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将△CEF沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落在射线AB上，且△AGF恰为直角三角形，则线段CF的长为

二、精品例题解析

题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题

例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM=，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为 .

【分析】分三种情况讨论：

①当M’落在线段ON的垂直平分线上时，即M’N=M’O，

设∠ONM=x°，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x=30°，进而利用三角函数求得ON的长；

②当M’N=ON时，作出图形，得到∠ONM’度数，利用三角函数求解；

③当M’O=ON=OM=，此时M、M’、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.

【答案】1或3.

【解析】解：由△ONM’为等腰三角形，分以下三种情况讨论：

①当M’落在线段ON的垂直平分线上时，即M’N=M’O，如图所示，

设∠ONM’=x°，则∠OM’M=∠OMM’=2x°,

∵∠AOB=90°，

∴x+2x=90，解得：x=30，

在Rt△NOM中，ON=；

②当M’N=ON时，如下图所示