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NanjingUniversityofTechnology第八章弯曲刚度

?计算梁弯曲变形的积分法

?弯曲变形计算的必要性摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。

桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。

?挠曲线近似微分方程?挠曲线挠曲线挠度y（f）：横截面形心处的铅垂位移截面转角θ：横截面绕中性轴转过的角度规定：向上挠度为正，逆时针转角为正挠曲线方程：转角方程：

?梁的挠曲线近似微分方程曲线y=f(x)的曲率为梁纯弯曲时中性层的曲率：

例题：已知梁的EI为常数，今欲使梁的挠曲线在x＝l/3处出现一拐点，则比值m/m为多少？12

解：由梁的挠曲线近似微分方程知，在梁挠曲线的拐点处有：从弯矩图可以看出：拐点：曲线凹与凸的分界点

?积分法求弯曲变形转角方程积分求解过程—积分法挠曲线方程式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定没有约束无法确定位移

?确定积分常数的边界条件连续光滑曲线，铰支座作用截面处连续光滑曲线，固定端支座处

光滑连续条件：PC

例题已知：左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q，梁的弯曲刚度为EI、长度为l。q、EI、l均已知。求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。

解：x建立Oxw坐标系x建立梁的弯矩方程wM(x)Q(x)将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得积分后，得到

固定端处的约束条件为：代入上两式，可得：故而，最终的挠度与转角方程写为：

从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。

例题已知：简支梁受力如图所示。F、EI、lP均为已知。求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。

解：确定梁约束力分为AB和BC两段建立弯矩方程AB段BC段小挠度微分方程：

积分得其中，C、D、C、D为积分常数1122在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w＝0;x＝l，w＝012AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即x＝l/4，w＝w;x＝l/4，?=?1212

共有四个边界条件，可解出四个待定系数D＝D=012梁的转角和挠度方程为：AB段BC段可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为

例题:已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θ和y。maxmax

解：由边界条件：得：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：

截面转角和挠度极值的判定方法？最大转角和最大挠度分别为：

例题:已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θ和y。maxmax

解：由对称性，只考虑半跨梁ACD

由连续条件:由边界条件：由对称条件：

梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：

例题:图示变截面梁悬臂梁，试用积分法求A端的挠度PI2I解：AC段BAxCCB段

由边界条件：得：由连续条件：AC段挠度方程为：（）令得

积分法小结?确定约束力,判断是否需要分段以及分几段?分段写出弯矩方程?分段建立挠度微分方程?微分方程的积分?利用约束条件和连续条件确定积分常数?确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角

?叠加法确定梁的挠度与转角

在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下，载荷与它所引起的变形呈线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。

叠加法主要针对多个载荷同时作用时的载荷叠加，但在一般的分析过程中，也会碰到结构变形的叠加问题！当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。

例题：用叠加法求f、?、?cABPmPqACBCl/2l/2l/2l/2mql/2l/2l/2l/2

解：将梁上的各载荷分别引起的位移叠加（）（）（）

★注意逐段刚化法：变形后AB部分为曲线，变形后：AB?AB`BC?B`C`但BC部分仍为直线。C点的位移为：wc

自由偏转量

例题：求外伸梁C点的位移。P将梁各部分分别引起的位移叠加BCAaL解：BC部分引起的位移f、c1θc1PBCAP刚化EI＝?Cfc1c1?

AB部分引起的位移f、?c2c2?PB2BACfc2刚化EI＝??PB2Pa

例题：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。qPACBDɑɑɑ

解：