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专题06导数及其应用、基本不等式
命题解读
考向
考查统计
1.高考对导数的考查,重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)以及借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值。
2.高考对基本不等式的考查,应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题。
导数与切线
2022·新高考Ⅰ卷,10
2022·新高考Ⅰ卷,15
2022·新高考Ⅱ卷,14
2024·新高考Ⅰ卷,13
2024·新高考Ⅱ卷,16(1)
导数与函数单调性、最值及恒成立问题
2022·新高考Ⅰ卷,22(1)
2023·新高考Ⅰ卷,19
2024·新高考Ⅰ卷,18(1)
2022·新高考Ⅱ卷,14
2022·新高考Ⅱ卷,22(1)
2023·新高考Ⅱ卷,22(1)
导数与函数极值、极值点
2023·新高考Ⅱ卷,11
2024·新高考Ⅱ卷,16(2)
导数与比较大小、基本不等式
2022·新高考Ⅰ卷,7
2022·新高考Ⅱ卷,12
命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷考查了导数与切线和函数最值的知识点,Ⅱ卷也考查到了切线,但是是体现在大题16题的第一问中,同时也考查到了恒成立问题。切线问题备考时注意含参数和公切线的问题即可,难度一般都是较易和适中。导数考查应关注:利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式证明等问题。导数常结合函数的零点、最值等问题综合考查,比如含函数单调性问题、恒成立问题等,理解划归与转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用。预计2025年高考还是主要考查导数与切线及单调性问题。
试题精讲
一、填空题
1.(2024新高考Ⅰ卷·13)若曲线在点处的切线也是曲线的切线,则.
【答案】
【分析】先求出曲线在的切线方程,再设曲线的切点为,求出,利用公切线斜率相等求出,表示出切线方程,结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由得,,
故曲线在处的切线方程为;
由得,
设切线与曲线相切的切点为,
由两曲线有公切线得,解得,则切点为,
切线方程为,
根据两切线重合,所以,解得.
故答案为:
二、解答题
2.(2024新高考Ⅰ卷·18)已知函数
(1)若,且,求的最小值;
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】(1)求出后根据可求的最小值;
(2)设为图象上任意一点,可证关于的对称点为也在函数的图像上,从而可证对称性;
(3)根据题设可判断即,再根据在上恒成立可求得.
【详解】(1)时,,其中,
则,
因为,当且仅当时等号成立,
故,而成立,故即,
所以的最小值为.,
3.(2024新高考Ⅱ卷·16)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)求导,结合导数的几何意义求切线方程;
(2)解法一:求导,分析和两种情况,利用导数判断单调性和极值,分析可得,构建函数解不等式即可;解法二:求导,可知有零点,可得,进而利用导数求的单调性和极值,分析可得,构建函数解不等式即可.
【详解】(1)当时,则,,
可得,,
即切点坐标为,切线斜率,
所以切线方程为,即.
(2)解法一:因为的定义域为,且,
若,则对任意恒成立,
可知在上单调递增,无极值,不合题意;
若,令,解得;令,解得;
可知在内单调递减,在内单调递增,
则有极小值,无极大值,
由题意可得:,即,
构建,则,
可知在内单调递增,且,
不等式等价于,解得,
所以a的取值范围为;
解法二:因为的定义域为,且,
若有极小值,则有零点,
令,可得,
可知与有交点,则,
若,令,解得;令,解得;
可知在内单调递减,在内单调递增,
则有极小值,无极大值,符合题意,
由题意可得:,即,
构建,
因为则在内单调递增,
可知在内单调递增,且,
不等式等价于,解得,
所以a的取值范围为.
一、单选题
1.(2022新高考Ⅰ卷·7)设,则(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】构造函数,导数判断其单调性,由此确定的大小.
【详解】方法一:构造法
设,因为,
当时,,当时,
所以函数在单调递减,在上单调递增,
所以,所以,故,即,
所以,所以,故,所以,
故,
设,则,
令,,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
又,
所以当时,,
所以当时,,函数单调递增,
所以,即,所以
故选:C.
方法二:比较法
解:,,,
①,
令
则,
故在上单调递减,
可得,即,所以;
②,
令
则,
令,所以,
所以在上单调递增
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