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专题07直线与圆
命题解读
考向
考查统计
1.高考对直线的考查,重点是直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法、两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等。
2.高考对圆的考查,重点是圆的标准方程与一般方程的求法,除了待定系数法外,要特别要重视利用几何性质求解圆的方程。同时,除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断,还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题。
3.其他就是直线、圆与其他知识点的交汇。
直线与圆的位置关系
2023·新高考Ⅰ卷,6
2022·新高考Ⅱ卷,15
2023·新高考Ⅱ卷,15
2024·新高考Ⅱ卷,10(多选题的一个选项中考查)
圆与圆的位置关系
2022·新高考Ⅰ卷,14
直线的斜率
2022·新高考Ⅱ卷,3
命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷未直接考查直线与圆的相关知识点,Ⅱ卷在多选题的一个选项中考到了直线与圆相切的问题,其实在压轴题中也有直线斜率的影子,后续专题再呈现。其实直线与圆直接考查的话,难度一般是较易的,一般计算不出错即可。在一些上难度的题型中,往往有直线斜率的一些影子。直线与圆考查应关注:直线、圆的方程及位置关系,直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程的求解。以常规题型、常规解法为主要方向,常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。预计2025年高考还是主要考查直线与圆的位置关系。
试题精讲
一、多选题
1.(2024新高考Ⅱ卷·10)抛物线C:的准线为l,P为C上的动点,过P作的一条切线,Q为切点,过P作l的垂线,垂足为B,则(????)
A.l与相切
B.当P,A,B三点共线时,
C.当时,
D.满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A选项,抛物线准线为,根据圆心到准线的距离来判断;B选项,三点共线时,先求出的坐标,进而得出切线长;C选项,根据先算出的坐标,然后验证是否成立;D选项,根据抛物线的定义,,于是问题转化成的点的存在性问题,此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可,亦可直接设点坐标进行求解.
【详解】A选项,抛物线的准线为,
的圆心到直线的距离显然是,等于圆的半径,
故准线和相切,A选项正确;
一、单选题
1.(2023新高考Ⅰ卷·6)过点与圆相切的两条直线的夹角为,则(????)
A.1 B. C. D.
【答案】B
【分析】方法一:根据切线的性质求切线长,结合倍角公式运算求解;方法二:根据切线的性质求切线长,结合余弦定理运算求解;方法三:根据切线结合点到直线的距离公式可得,利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一:因为,即,可得圆心,半径,
过点作圆C的切线,切点为,
因为,则,
可得,
则,
,
即为钝角,
所以;
法二:圆的圆心,半径,
过点作圆C的切线,切点为,连接,
可得,则,
因为
且,则,
即,解得,
即为钝角,则,
且为锐角,所以;
方法三:圆的圆心,半径,
若切线斜率不存在,则切线方程为,则圆心到切点的距离,不合题意;
若切线斜率存在,设切线方程为,即,
则,整理得,且
设两切线斜率分别为,则,
可得,
所以,即,可得,
则,
且,则,解得.
故选:B.
????
2.(2022新高考Ⅱ卷·3)图1是中国古代建筑中的举架结构,是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为.已知成公差为0.1的等差数列,且直线的斜率为0.725,则(????)
A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
【答案】D
【分析】设,则可得关于的方程,求出其解后可得正确的选项.
【详解】设,则,
依题意,有,且,
所以,故,
故选:D
二、填空题
3.(2022新高考Ⅰ卷·14)写出与圆和都相切的一条直线的方程.
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系,分情况讨论即可.
【详解】[方法一]:显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为,
于是,
故①,于是或,
再结合①解得或或,
所以直线方程有三条,分别为,,
填一条即可
[方法二]:设圆的圆心,半径为,
圆的圆心,半径,
则,因此两圆外切,
由图像可知,共有三条直线符合条件,显然符合题意;
又由方程和相减可得方程,
即为过两圆公共切点的切线方程,
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为,
直线OC与直线的交点为,
设过该点的直线为,则,解得,
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]:圆的圆心为,半径为,
圆的圆心为,半径为,
两圆圆心距为,等于两圆半径之和,故两圆外切,
如图,
当切线为l时,因为,所以,设方程为
O到l的距离,解得,所以l的方程为,
当切线为m时,设直线方程为,其中,,
由题意,解得,
当切
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