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专题08排列组合与二项式定理
命题解读
考向
考查统计
1.高考对排列组合的考查,重点是特殊元素与特殊位置、两元素相邻或不相邻、分组、分配等问题。题型一般与生活实际联系紧密。
2.高考对二项式定理的考查,重点是二项展开基本定理考查特定项、特定项的系数、二项式系数等问题,同时会涉及到赋值法的应用。
排列组合
2023·新高考Ⅰ卷,13
2022·新高考Ⅱ卷,5
2023·新高考Ⅱ卷,3
2024·新高考Ⅱ卷,14
二项式定理
2022·新高考Ⅰ卷,13
命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷的排列组合是体现在概率中的,后续专题会体现出来。Ⅱ卷考查了通过列举来确定所有可能结果,其实Ⅰ卷的题目也可以采用列举法,这两题考查的方向偏向于与实际生活联系在一起;其中逻辑推理能力比较重要,而且都是压轴题。预计2025年高考还是主要考查排列组合的应用,题型多变。
试题精讲
一、填空题
1.(2024新高考Ⅱ卷·14)在如图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是.
【答案】24112
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选;利用列举法写出所有的可能结果,即可求解.
【详解】由题意知,选4个方格,每行和每列均恰有一个方格被选中,
则第一列有4个方格可选,第二列有3个方格可选,
第三列有2个方格可选,第四列有1个方格可选,
所以共有种选法;
每种选法可标记为,分别表示第一、二、三、四列的数字,
则所有的可能结果为:
,
,
,
,
所以选中的方格中,的4个数之和最大,为.
故答案为:24;112
【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选,利用列举法写出所有的可能结果.
一、单选题
1.(2022新高考Ⅱ卷·5)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同排列方式共有(????)
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁,用插空法安排甲,利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看做一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有种排列方式;为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式;注意到丙丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有:种不同的排列方式,
故选:B
2.(2023新高考Ⅱ卷·3)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有(????).
A.种 B.种
C.种 D.种
【答案】D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人,高中部共抽取,
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.
故选:D.
二、填空题
3.(2022新高考Ⅰ卷·13)的展开式中的系数为(用数字作答).
【答案】-28
【分析】可化为,结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为,
所以的展开式中含的项为,
的展开式中的系数为-28
故答案为:-28
4.(2023新高考Ⅰ卷·13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有种(用数字作答).
【答案】64
【分析】分类讨论选修2门或3门课,对选修3门,再讨论具体选修课的分配,结合组合数运算求解.
【详解】(1)当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有种;
(2)当从8门课中选修3门,
①若体育类选修课1门,则不同的选课方案共有种;
②若体育类选修课2门,则不同的选课方案共有种;
综上所述:不同的选课方案共有种.
故答案为:64.
一、排列与排列数
1、定义:从个不同元素中取出个元素排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.
2、排列数的公式:.
特例:当时,;规定:.
3、排列数的性质:
①;②;③.
二、组合与组合数
1、定义:从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.
2、组合数公式及其推导
求从个不同元素中取出个元素的排列数,可以按以下两步来考虑:
第一步,先求出
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