2024年中考数学二次函数压轴题专题05 三角形面积最值问题（教师版） .pdf

专题05三角形面积最值问题

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求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角

函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法.

【问题描述】在平面直角坐标系中，已知4（1,1）、闰7,3）、C（4,7）,求△ABC的面积.

【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样:

构造矩形ADEF,用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积.

这是在“补”，同样可以采用“割：

Sam=SAm+S=-CDAE+-CDBF=-CD(AE+BF}

t222、

此处AE+AF即为A、B两点之间的水平距.

由题意得：AE+BF=6.

下求CD:

,、—12

根据A、B两点坐标求得直线解析式为：y=-x+-

33

由点。坐标(4,7)可得。点横坐标为4,

将4代入直线AB解析式得。点纵坐标为2,

故D点坐标为(4,2),CD=5,

【方法总结】

作以下定义：

A、B两点之间的水平距称为“水平宽”；

过点。作尤轴的垂线与AB交点为D,线段CQ即为边的“铅垂高”.

如图可得：Sy水平宽;铅垂高

Ay

铅

垂

高

水平宽I

【解题步骤】

(1)求A、B两点水平距，即水平宽;

(2)过点C作入轴垂线与AB交于点。，可得点。横坐标同点C;

(3)求直线AB解析式并代入点。横坐标，得点。纵坐标；

(4)才艮据C、。坐标求得铅垂高；

(5)利用公式求得三角形面积.

【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？

铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因

此，动点若不在两定点之间，方法类似：

【铅垂法大全】

(1)取A8作水平宽，过点。作铅垂高CD.

(2)取AC作水平宽，过点8作BDLx轴交直线AC于点。，8Q即对应的铅垂高,

=水平宽x铅垂高

3.ABCABD~3BCD~

(3)取8C作水平宽，过点A作铅垂高AQ.

甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高.

(4)取作水平宽，过点A作铅垂高AQ.

水

平

宽

、D

A铅垂高

~0

(5)取AC作水平宽，过点B作铅垂高BQ.

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