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热点专题2-7函数与方程
近5年考情(2020-2024)
考题统计
考点分析
考点要求
2024年天津卷第15题,5分
从近几年高考命题来看,高考对函数与方程也经常以不同的方式进行考查,比如:函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题,以选择题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置,且考查得较为灵活
(1)理解函数的零点与方程的解的联系.(2)理解函数零点存在定理,并能简单应用.
(3)了解用二分法求方程的近似解.
2024年全国甲卷,第16题,5分
2023年天津卷第15题,5分
2021年北京卷第15题,5分
【题型1】求函数的零点
【题型2】求函数零点所在区间
【题型3】二分法求近似解
【题型4】判断函数零点个数或交点个数
【题型5】利用函数的零点所在区间求参数范围
【题型6】已知零点个数求参数范围
【题型7】比较零点的大小
【题型8】求零点的和
【题型1】求函数的零点
函数的零点
1、函数零点的概念:对于一般函数,我们把使的实数叫做函数的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.
【要点辨析】
(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零;
(2)函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标;
(3)函数的零点就是方程的实数根.
2、函数的零点与方程的解的关系
函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点存在定理
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线,且,那么,函数在区间内至少有一个零点,即存在,使得,这个也就是方程的解.
1.函数的零点为(????)
A. B. C.0 D.1
【巩固练习1】
2.函数的零点为(????)
A. B.2 C. D.
【巩固练习3】
3.已知定义在上的是单调函数,且对任意恒有,则函数的零点为(????)
A. B. C.9 D.27
【题型2】求函数零点所在区间
判断函数零点所在区间的步骤
第一步:将区间端点代入函数求函数的值;
第二步:将所得函数值相乘,并进行符号判断;
第三步:若符号为正切在该区间内是单调函数,则函数在该区间内无零点;
若符号为负且函数图象连续,则函数在该区间内至少一个零点.
4.函数的零点所在区间为(????)
A. B. C. D.
【巩固练习1】
5.函数的一个零点所在的区间是(????)
A. B. C. D.
【巩固练习2】
6.函数的一个零点所在的区间是(????)
A. B. C. D.
【题型3】二分法求近似解
所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
(2024·广东梅州·二模)
7.用二分法求方程近似解时,所取的第一个区间可以是(????)
A. B. C. D.
【巩固练习1】
8.一块电路板的线段之间有个串联的焊接点,知道电路不通的原因是焊口脱落造成的,要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落,至少需要检测()
A.次 B.次
C.次 D.次
【巩固练习2】
9.已知函数,在区间内存在一个零点,在利用二分法求函数近似解的过程中,第二次求得的区间中点值为.
【巩固练习3】(2024·辽宁大连·一模)
10.牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替,该函数零点更逼近方程的解,以此法连续迭代,可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法,解方程,选取初始值,在下面四个选项中最佳近似解为(????)
A. B. C. D.
【题型4】判断函数零点个数或交点个数
零点个数的判断方法
(1)直接法:直接求零点,令,如果能求出解,则有几个不同的解就有几个零点.
(2)定理法:利用零点存在定理,函数的图象在区间上是连续不断的曲线,且,结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法:
①单个函数图象:利用图象交点的个数,画出函数的图象,函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数.
②两个函数图象:将函数拆成两个函数和的差,根据,则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.
(4)性质法:利用函数性质,若能确定函数的单调性,则其零点个数不难得到;若所考查的函数是周期函数,则只需解决在一个周期内的零点的个数.
11.函数的零点个数为(????)
A.0 B.1 C.2 D.3
12.函数的零点个数为()
A.0 B.1 C.2 D.3
【巩固练习1】
13.函数在定义域内的零点个数是(????
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