对称矩阵的标准形课件.pptVIP

第九章欧氏空间一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵二、线性变换的简单性质§6对称矩阵的标准形11

第九章欧氏空间一、实对称矩阵的一些性质引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．证：设是A的任意一个特征值，则有非零向量满足§6对称矩阵的标准形22

第九章欧氏空间其中为的共轭复数，令又由A实对称，有§6对称矩阵的标准形33

第九章欧氏空间考察等式，由于是非零复向量，必有故§6对称矩阵的标准形44

第九章欧氏空间引理2设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间上定义一个线性变换如下：则对任意有或§6对称矩阵的标准形55

第九章欧氏空间证：任取则即有§6对称矩阵的标准形66

第九章欧氏空间二、对称变换1．定义设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足则称为对称变换．§6对称矩阵的标准形77

第九章欧氏空间2．基本性质1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：①实对称矩阵可确定一个对称变换．证明：设为V的一组标准正交基．定义V的线性变换：§6对称矩阵的标准形88

第九章欧氏空间令于是又是标准正交基，则为V的对称变换．§6对称矩阵的标准形99

第九章欧氏空间②对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．证明:设为n维欧氏空间V上的对称变换，为V的一组标准正交基，为在这组基下的矩阵，即或§6对称矩阵的标准形1010

第九章欧氏空间于是由是对称变换，有即所以A为对称矩阵．§6对称矩阵的标准形1111

第九章欧氏空间2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间．证明：设是对称变换，W为的不变子空间．要证对即证任取由W是子空间，有因此即故也为的不变子空间．§6对称矩阵的标准形1212

第九章欧氏空间三、实对称矩阵的正交相似对角化引理4实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的．证：设实对称矩阵为A，是A的两个不同特征值，分别是属于的特征向量．即则所以有又则§6对称矩阵的标准形1313

第九章欧氏空间(定理7)对总有正交矩阵T，使§6对称矩阵的标准形1414

第九章欧氏空间证：设A为上对称变换在标准正交基下的矩阵．由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有n个特征向量作成的标准正交基即可．对的维数n用归纳法．n=1时，结论是显然的．假设n-1时结论成立，对设其上的对称变换有一单位特征向量，其相应的特征值为，即§6对称矩阵的标准形1515

第九章欧氏空间设子空间显然W是子空间，则也是子空间，且又对有所以是上的对称变换．由归纳假设知有n－1个特征向量构成的一组标准正交基．§6对称矩阵的标准形1616

第九章欧氏空间从而就是的一组标准正交基，又都是的特征向量．即结论成立．3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设(i)求出A的所有不同的特征值：其重数必满足;(ii)对每个，解齐次线性方程组§6对称矩阵的标准形1717

第九章欧氏空间求出它的一个基础解系：它是A的属于特征值的特征子空间的一组基．把它们按正交化过程化成的一组标准正交基(iii)因为互不相同，所以且就是V的一组标准正交基．§6对称矩阵的标准形1818

第九章欧氏空间的分量依次作将矩阵T的第1，2，…，n列，则T是正交矩阵，且使为对角形．例1．设求一正交矩阵T使成对角形．§6对称矩阵的标准形1919

第九章欧氏空间解：先求A的特征值．A的特征值为（三重）,§6对称矩阵的标准形2020

第九章欧氏空间其次求属于的特征向量，即求解方程组得其基础解§6对称矩阵的标准形2121

第九章欧氏空间把它正交化，得再单位化，得§6对称矩阵的标准形2222

第九章欧氏空间这是特征值(三重)的三个单位正交特征向量，也即是特征子空间的一组标准正交基．§6对称矩阵的标准形2323

第九章欧氏空间再求属于的特征向量，即解方程组得其基础解§6对称矩阵的标准形2424

第九章欧氏空间再单位化得这样构成的一组标准正交基，它们都是A的特征向量，正交矩阵§6对称矩阵的标准形2525

第九章欧氏空间使得注：①对于实对称矩阵A，使而且对于正交矩阵T,成立的正交矩阵不是唯一的．还可进一步要求§6对称矩阵的标准形2626

第九章欧氏空间事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T取正交矩阵则是正交矩阵且同时有②如果不计较主对角线