2025年中考数学专题53 一次函数背景下的搭桥模型（解析版） .pdf

模型介绍

二、求线段之和的最小值

已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定,

在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知识解)

(1)点A、B在直线m两侧：

过A点作AC/7m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P

点，此时P、Q即为所求的点.

A.

(2)点A、B在直线m同侧:

A

m

pQ

过A点作AE〃m,且AE长等于PQ长，作B关于ni的对称点B，，连接BE,交直线m于Q,Q

向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点.

例题精讲

【例1】.如图，已知A(3,1),B(1,0),PQ是直线y=x上的一条动线段且P2=V2(2

在P的下方)，当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为—

解：作点8关于直线=尤的对称点B(0,1),过点A作直线，并沿枷向下平移扼

单位后得A(2,0)

连接AB交直线y=x于点Q

，N‘

理由如下：・.・4，=FQ=扼，AA//PQ,

.•・四边形AP0V是平行四边形.

:.AP=AQ.

9：AP+PQ+QB=FQ+AQ+PQ且PQ=^2.

..•当AQ^Q值最小时，AP+PQ+QB值最小.

根据两点之间线段最短，即A,Q,9三点共线时AQ+BQ值最小.

VB(0,1),4(2,0),

.•・直线的解析式丁=-yX+1.

.*.%=-—x+1.艮|3x~~,

23

・.・Q点坐标(£,§)•

33

故答案是：(£,g)・

33

A变式训

【变1-11.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，点A,C,E的坐标分别为(0,4),(8,

0),(8,2),点P,。是C边上的两个动点，且PQ=2,要使四边形APQE的周长最

小，则点尸的坐标为()

A.(2,0)B.(3,0)C.(4,0)D.(5,0)

解：如图，将点E(8,2)往左平移2个单位得到F(6,2),贝8EF=2=PQ,EF//PQ,

.•・四边形EFPQ是平行四边形，

:.FP=QE,

作点尸关于x轴的对称点尸，连接尸尸，

则PF=PF,F(6,-2),

・.・当点A、P、E在同一直线上上时，AP+PF最小，

即AP+EQ最小，

VA(0,4),F(6,-2),

「・直线AF1解析式：y=-x+4,

:.P(4,0),

故选：C.

【变1-2].A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥.

(1)要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来.

(2)若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC=40米，你能

求出两村的最短路程吗？若能，请求出来.

B|C

解：(1)桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形.

(2)作MHLBC垂足为H.

两村A、8之间的最短路程=AN+KN+BK,

.・・四边形AMKN是平行四边形，

・・・AN=MK,

在RTABMH中，VBH=70,MH=40,

bm=Vmh2+bh2=10V65，

：・AN+KN*BK=BM+KN=l(h/65+30,

「・两村的最短路程为(10顼65+30)米.

【例2】.如图，平面直角坐标系中，直线x+8分别交x轴，y轴于A,B两点，点C

为的中点，点。在第二象限，且四边形AOCD为矩形.动点P为CD上一点，PHL

OA,垂足为H,点。是点B关于点A的对称点，当BP+PH+HQ值最小时，点P的坐标

理由是：..•直线y=-|x+8分别交、轴，y轴于A,8两点，点C为OB的中点,

：.OB=S,A=6,C=4f

连接如，CH,H