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分离变量法的拓展应用

分离变量法是求解有限域上数学物理方程定解问题的普遍有效方法。文章首

先简单介绍分离变量法的基本原理和使用分离变量法的限制条件，然后重点讨论

对非齐次方程和非齐次边界条件的数学处理，使我们可以突破分离变量法的适用

范围，最大限度地直接或间接使用分离变量法求解各种复杂的数学物理方程问

题。

标签：分离变量法；适用条件；拓展应用

数学物理方程主要指从物理学及其工程技术应用科学中产生的偏微分方程

（有时也包含积分方程、微分积分方程等），它是一门数学基础性强和物理应用

范围广的数理基础课，同时它又被公认为大学理工科教学中一门难教、难学的基

础必修课。数学物理方程是物理规律的数学表达，一般用来描述大量物理现象背

后的普遍规律和共同特征。例如，波动方程描写波动现象的普遍规律，不管是声

波还是电磁波都要服从波动方程。输运方程反映输运过程的基本规律，不管是由

温度梯度引起的热传导，还是由物质浓度差引起的物质扩散都符合输运方程。稳

定场方程描述的现象就更加广泛了，通常指物理量在不随时间变化的情况下满足

的偏微分方程，但在数学物理方程中将特指拉普拉斯方程、泊松方程和亥姆霍兹

方程，它们描述稳定温度场、静电场、时谐电磁波的电场或磁场空间分布等[1][2]。

这些经典数学物理方程虽然能够描写物理现象的共同规律，却无法对某个具体现

象和过程作出全面的描述，所以只有偏微分方程往往不足以确定具体问题的解，

定解还需要提供具体问题的边界条件和初始条件，它们分别反映系统受到外界的

影响，以及系统在初始时刻的物理状态，边界条件和初始条件一起统称定解条件。

一般来说，偏微分方程的解法相当复杂，数学物理方程课程中涉及三类经典

方程，其解法具有典型代表性，完全可以应用到其他类型的数学物理方程求解，

如量子力学的薛定谔方程。分离变量法就是一种求解偏微分方程的普遍有效方

法，适用于大量的有限域上的初边值问题。本文首先简單介绍分离变量法的基本

原理，其次说明分离变量法的严格适用条件，最后讨论分离变量法的各种拓展应

用，重点介绍对非齐次边界条件的数学处理，对非齐次方程应用本征函数展开法，

对稳定场引进自然边界条件构成本征值问题，通过这些数学处理极大地拓展了直

接或间接使用分离变量法的应用范围。

二、分离变量法的基本原理

对于微分方程可以先求通解，然后利用边值条件定解。偏微分方程却一般无

法采用类似方法求解，主要是因为偏微分方程的通解难找，即使找到了通解，可

能也难以定解。分离变量法基本原理的提出其实是受到物理中驻波现象的启示，

如两端固定弦的自由振动满足波动方程。从物理上容易看出，弦的两个端点对波

有反射作用，波在两个端点之间往复反射并叠加形成驻波。这就启发我们弦上存

在驻波形式的特解，驻波的特点就是波函数可以表示为时间变量函数和空间变量

函数的乘积，即存在分离变量形式的特解。

现在分离变量法已经成为求解数学物理方程最有效的一种方法，虽然其核心

思想源自驻波，但这并不意味着它只能应用在波动方程的求解，它完全可以推广

到各种类型的数学物理方程定解问题。具体来说，分离变量法首先需要假设方程

存在分离变量形式的特解，对方程分离变量，从而把偏微分方程转换成几个单变

量函数满足的微分方程，对边界条件分离变量，由此得出对微分方程所描述的单

变量函数的某些限制，这些限制条件和微分方程一起构成本征值问题。然后对本

征值问题进行求解，求解结果不仅需要找到一组非零特解（本征函数），还要确

定那些待定常数所能取到的一些特定数值（本征值）。最后把这些分离变量形式

的特解叠加起来，得到满足方程和边界条件的一般解，进一步使其满足初始条件，

以确定一般解中的叠加系数，方程最终获解。

三、分离变量法的条件

虽然分离变量法行之有效，应用广泛，但它的使用范围仍然受到一定的限制。

分离变量法的首要前提是存在分离变量形式的特解，这种特解是否真的存在，一

切都要看最终能否定解。当我们把分离变量特解代入偏微分方程，就会发现只有

对齐次偏微分方程，才能真正实施分离变量的步骤，即把偏微分方程转换为一系

列的单变量微分方程。而对非齐次偏微分方程，显然无法分离变量，因为非齐次

项是一个不为零的已知函数，无法写成解的分离表达形式。所以分离变量法要求

方程必须是齐次的。

对齐次偏微分方程进行分离变量后得到的系列微分方程，与普通微分方程有

一点显著不同，那就是它们还包含分离变量过程中引进的一些待定常数，导致这

些微分方程无法单独求解，必须为其提供合适的附加条件，构成所