高中数学选修2-1-抛物线的方程及性质.pdf

抛物线的方程及性质

知识集结

知识元

抛物线的定义

知识讲解

1．抛物线的定义

【概念】

抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，

比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥

曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换

下，也可看成二次函数图象．

【标准方程】

①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；

②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．

【性质】

2

我们以y＝2px（p＞0）为例：

①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂

直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．

【实例解析】

2

例1：点P是抛物线y＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则PQ||的最小值为

2

解：∵点P是抛物线y＝x上的动点，

∴设P（x，），

∵点Q的坐标为（3，0），

∴PQ||＝

＝

＝，

∴当x＝，即P（）时，

PQ||取最小值．

故答案为：．

这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最

值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．

2

例2：已知点P是抛物线y＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线

的准线的距离之和的最小值是．

解：如图所示，

设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．

过点P作PM⊥l，垂足为M．

则PM||＝PF||．

设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，PF||+|PQ|取得最小值．

∴（PF||+|PQ|）＝QF||＝＝．

min

即PM||+|PQ|的最小值为．

故答案为：．

这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，

然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了

这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．

【考点分析】

抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这

也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．

例题精讲

抛物线的定义

例1.

已知动圆过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，求动圆圆心C的轨迹．

例2.

平面内哪些点到直线l：x=-2和到点P（2，0）距离之比小于1．

例3.

点M到点F（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离，点M运动的轨迹是什么图形？你能写

出它的方程吗？能画出草图吗？

抛物线的标准方程

知识讲解

1．抛物线的标准方程

【知识点的认识】

抛物线的标准方程的四种种形式：

2

（1）y＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）

2

（2）x＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）

四种形式相同点：形状、大小相同；

四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．

下面以两种形式做简单的介绍：

标准方程22

y＝2px（p＞0），焦点在x轴