2025年高考数学第一轮复习第五章　培优点7　极化恒等式.docx

培优点7极化恒等式

1．极化恒等式

在平面向量中：

(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，

(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，

两式相减可得极化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]．

2．几何解释

(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的eq\f(1,4)，

即a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2](如图)．

(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，

即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))