导数与微分的定义通用课件.pptVIP

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导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)

第一节1.导数和微分的定义一、导数的定义二、单侧导数三、函数的可导性与连续性的关系四、导数的几何意义五、微分

一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为自由落体运动而在时刻的瞬时速度为

2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)切线MT的斜率割线MN的斜率

瞬时速度切线斜率两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度是速度增量与时间增量之比的极限变化率问题角速度是转角增量与时间增量之比的极限线密度是质量增量与长度增量之比的极限电流强度是电量增量与时间增量之比的极限

二、导数的定义在点的某邻域内有定义,在点处可导,并称此极限为定义1.设函数若存在,则称函数在点的导数.记作:即

运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率

若上述极限不存在,就说函数在点不可导.若也称在的导数为无穷大.若函数在开区间I内每点都可导,就称函数在I内可导.此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:

由定义求导数的步骤

一些基本初等函数的导数?常数函数的导数?幂函数的导数?正(余)弦函数的导数?对数函数的导数?指数函数的导数

常数函数的导数例2.解注:

正弦函数的导数例1.解所以同理可得

幂函数的导数的导数例3.求函数解:更一般地

说明:对一般幂函数(为常数)(以后将证明)例如,

对数函数的导数例4.解

指数函数的导数例5.解(见1-4函数连续性的例3)

五、单侧导数定义2.设函数有定义,若极限在点(左)的某个右邻域内存在,则称此极限值为在处的右(左)导数,记作即例如,在x=0处有

在点可导的充分必要条件定理2.函数是且存在简写为若函数在开区间内可导且与,都存在,则称在闭区间上可导.

四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:在点x处可导,即设存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.

注意:函数在点x连续未必可导.例1:处连续但不可导在试证证处连续。在01处不可导。在1例2:-1/π0在处的连续但不可导。

分段函数在分段点的可导性

例6.解

7.设,问a取何值时,在都存在,并求出显然该函数在x=0连续.解:故时此时在都存在,

三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过曲线过上升;下降;若若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.yx

曲线在点处的切线方程:法线方程:例8,求曲线处的在切线方程和法线方程。解:切线方程:法线方程:法线

一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由变到设薄片边长为x,面积为A,则得增量时面积的增量为问此薄片面积改变了多少?当x在取,关于△x的线性主部时为高阶无穷小故称为函数在的微分

定义:若函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)则称函数的微分,记作在点可微,而称为即定理:可微的充要条件是则

定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即证:“必要性”在点可微,则已知故在点的可导,且

定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知在点的可导则,即

说明:当时,时与是等价无穷小,故当所以很小时,有近似公式

微分的几何意义切线纵坐标的增量当很小时,记自变量的微分,记作则有导数也叫作微商从而

例如,又如,基本初等函数的微分公式(见P66表)

内容小结1.导数的实质:增量比的极限;2.3.导数的几何意义:切线的斜率;4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:不连续,一定不可导.6.判断可导性直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.

2.设存在,则则3.已知4.若且问时,恒有可导?是否在由题设解:在故可导,且由夹逼准则

作业P1095,6,7(2、3)

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