专题05 九种函数与抽象函数模型归类（解析版）16题型提分练-2025年高考数学一轮复习知识清单（新高考通用）.docx

专题05九种函数与抽象函数模型归类

目录

TOC\o1-1\h\u题型一：三大补充函数：对勾函数 1

题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数 4

题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数） 6

题型四：一元三次函数 9

题型五：高斯取整函数 12

题型六：绝对值函数 15

题型七：对数绝对值型 19

题型八：对数无理型 22

题型九：对数反比例型 24

题型十：指数反比例型 26

题型十一：抽象函数模型：过原点直线型 28

题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型 30

题型十三：抽象函数模型：正切型 33

题型十四：抽象函数模型：一元二次型 35

题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型 37

题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型 39

题型一：三大补充函数：对勾函数

对勾函数：图像特征形如

对勾函数：图像特征

形如称为对勾函数

1.有“渐近线”：y=ax

2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处）

1.（2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是.

【答案】

【分析】令，讨论的取值范围，确定函数的单调性，根据单调性确定函数的最大值与最小值，使且恒成立，进而确定的取值范围以及的取值范围，即求.

【详解】令

I.当时，函数显然单调递增，

所以，，

由题意可得，

这与矛盾，故舍去；

II，当时，在单调递减，单调递增，

①.当时，即，所以，

由题意可得，

这与矛盾（舍去）.

②．当时，即，

所以，

，由题意得，a.当时，此时，

所以，故，

而，故，b.当时，此时，所以，

故，而，故.

③．当时，即，所以，，

由题意可得，这与矛盾，

综上所述：.故答案为：

2.（2022·安徽合肥·高二校联考开学考试）已知函数，关于x的不等式只有一个整数解，则正数a的取值范围是．

【答案】

【分析】将函数解析式变形，结合打勾函数的图像与性质可求得的值域，进而结合不等式可知；因为不等式只有一个解，因而计算后与比较即可确定这个解为；进而由不等式成立条件可得正数a的取值范围.

【详解】函数，结合打勾函数性质可知，，

关于x的不等式，因为求正数a的取值范围，因而，化简不等式可得，

所以，即则，因为关于x的不等式只有一个整数解，

所以由以上数据可知整数解为，所以，

解得，所以故答案为：.

3.．（2023·高三单元测试）已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为.

【答案】4

【分析】根据单调性得到，要使正整数尽可能大，则可以是，得到答案.

【详解】当时，，单调递减，故，

要使正整数尽可能大，则可以是，故的最大值为4.

故答案为：4.

4.（2022·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数，若对任意的，长为的三条线段均可以构成三角形，则正实数的取值范围是.

【答案】

【分析】求出的导数，分类讨论可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求的范围．

【详解】函数的导数为，

当时，，递增；当时，，递减．

当即时，，为减区间，即有的最大值为；

最小值为．

由题意可得只要满足，解得；

当且即时，，为减区间，，为增区间，

即有的最大值为；最小值为．

由题意可得只要满足，解得，所以；

当且（1）即时，，为减区间，，为增区间，

即有的最大值为；最小值为．

由题意可得只要满足，解得，所以；

当，即时，，为增区间，即有的最小值为；

最大值为．

由题意可得只要满足，解得．

综上可得，的取值范围是．

故答案为：．

题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数

反比例与分式型函数

反比例与分式型函数

解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解

形如：。对称中为P，其中

①；

②

③一、三或者二、四象限，通过计算判断

1.（2022·湖北武汉·高三校联考模拟）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则.

【答案】16

【分析】由为奇函数可得函数关于点对称，分离常数可知函数关于点对称，继而可得与图像的8个交点关于点对称，则，可求，结果可得.

【详解】为奇函数函数关于点对称

函数关于点对称与图像的8个交点关于点对称

,,,可得

同理可知

故答案为：

2.（2023·全国·高三对口高考）函数的值域是或，则此函数的定义域为.

【答案】

【分析】利用反函数,可将原函数化为,(其中或),求出的值域即得的定义域.

【详解】，其中或，

当时,是减函数,此时，

当时,是减函数,此时，

∴函数的定义域为.

故答案为：.