2024年中考数学提高复习讲义：圆的性质及相关计算.docxVIP

中考专题复习之圆的性质及相关计算

知识梳理

1.圆的定义

在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫作圆.以点O为圆心的圆写作“⊙O”，读作“圆O”.圆指的是封闭的曲线，而不是圆面.

2.点与圆的位置关系

设⊙O的半径为r，则点P与⊙O的位置关系如下：

(1)点P在⊙O上:OP=r.

(2)点P在⊙O内:OPr.

(3)点P在⊙O外:OPr.

3.证明几个点在同一个圆上的方法

要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点与一个定点的距离相等.

4.确定圆的条件

(1)经过一个已知点能作无数个圆.经过一个已知点并确定圆的半径同样也能作无数个圆，这些圆的圆心构成一个圆.

(2)经过两个已知点A，B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.

(3)同一平面内，不在同一条直线上的三个点确定一个圆.(过三个已知点作圆时要考虑圆的存在性和唯一性.)

5.三角形的外接圆、外心的概念

经过三角形各个顶点的圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形.

三角形的外心是内接三角形三条边的垂直平分线的交点.

对于不同的三角形，三角形外心的位置也不同，具体如下：

(1)锐角三角形的外心在三角形内部.

(2)直角三角形的外心在直角三角形的斜边的中点上.

(3)钝角三角形的外心在三角形的外部.

6.圆的轴对称性

圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴.圆的对称轴有无数条.

注意：对称轴是直线，所以不能说圆的每一条直径都是它的对称轴.

7.垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.

推论：

(1)平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的弧.(如果其中的弦为直径，则不成立.因为两条直径总是互相平分的)

(2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

(3)弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫作弦心距.

利用垂径定理及其推论进行相关证明时，常需要作出弦心距，垂足为弦的中点.

8.圆心角、圆周角的相关定理及推论

圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论：(1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径.

(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.

(其中同弧或等弧不能改为同弦或等弦.一条弦对应的圆周角分布在弦的两侧，并且两侧圆周角之间互为补角)

在圆心角和圆周角的关系中，所有圆心角和圆周角的等量关系都要通过它们所对的弧进行转换.9.圆的内接四边形的概念

圆的内接四边形中，四边形的对角互补.

圆的内接平行四边形为矩形.

圆的内接梯形一定为等腰梯形.

10.弧长及扇形的面积、弓形的面积

(1)在半径为r的圆上，圆心角a所对的弧长l的计算公式为l=

由上述弧长公式可推出：n=

(2)如果扇形的半径为r，圆心角为a，扇形的弧长为l，那么扇形面积的计算公式为：S=nπ

如果弓形的面积是S，弓形所在扇形的面积是S?，圆心角是a，扇形的两条半径与弓形的弦所形成的三角形面积是S?，则当a=180°时，S=S?;当a180°时,.S=S??S?;当a180°时,S=S?+S?.

11.圆锥及其相关计算

圆锥可以看作是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所成的图形，斜边旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面.无论转到什么位置，这条斜边叫作圆锥的母线，另一条直角边旋转而成的面叫作圆锥的底面.如果记圆锥的高线长为h，底面半径为r，母线长为l，则?2+r2=l2.

圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长l(也表示圆锥的侧面展开图扇形的半径)，弧长是圆锥的底面周长C=2πr，侧面积S

圆锥的侧面积与底面积的和叫作圆锥的全面积(或表面积)：S?=πrl+πr2.

注意：不同公式中字母l的含义不同，须区分.

12.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系常见的有以下两种方法.

(1)代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ=b2?4ac.

△0?直线l与⊙C相交?直线l与⊙C有两交点;

△=0?直线l与⊙C相切?直线l与⊙C有一交点;

△0?直线l与⊙C相离?直线l与⊙C无交点.

(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.

dr?直线l与⊙C相交?直线l与⊙C有两交点;

d=r?直线l与⊙C相切?直线l与⊙C有一交点;

dr?直线l与⊙C相离?直线l与⊙C无交点.

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