10曲线积分与曲面积分(答案).docVIP

第十章曲线积分与曲面积分

(一)

1．解：两点间直线段的方程为：，

故

所以。

2．解：的参数方程为，

则

所以

3．解：

故

4．解：如图

：，，

：，，

：，，

∴

5．解：

∴

6．解：

∴

。

7．解：

8．解：直线段的方程为，化成参数方程为

，，，从1变到0

故

9．解：直线的参数方程为

，，()

10．解：

11．解：1)原式

2)原式

12．解：1）的方向余弦，

2），

故

3），

故

13．解：因为

故原积分与路径无关，于是

原式

。

14．解：，，由，得

，解得

故当时，所给积分与路径无关

取计算，其中，，

15．解：原式

又

∴

16．解取，，，可得面积

设为在第I象限部分的面积，由图形的对称性所求面积

注：还可利用

17．解：，

，

因为，所以积分与路径无关

取路径

原式

18．解：，

原式。

19．解：，

原式

20．解：1），故是某个的全微分。

2），

21．解：：，

故原式

22．解：原式

这里为在第一象限部分

23．解：，

原式

24．解：

25．解：平面这部分的面积

因而

故重心坐标为

26．解：因为曲面积分有向曲面，所以当积分曲面取在的上侧时为正号，取在下侧时为负号

27，解：，面积为0，

，

原式

。

28．解：根据轮换对称，只要计算

：

注意到：，再利用极坐标可得

于是原式

29．解：原式，这里，，是的法向理的方向余弦而是平面在第一卦限部分的上侧，取。

，，

故原式。

30．解：1）

原式

20，，

故原式。

31．解：

2）

。

32．解：，，

，，

故

33．解：取为平面，被所围成的部分的上侧，的面积为，的单位法向量为

原式

。

34．证：平面的单位法向理

由斯托克斯公式得

左边

35．解：闭曲线是平面上的圆周(逆时针方向)，它的参数方程为，，，故环流量为

.

36．解：。

37．解：证平面合科立方体内的部分为，它在平面上的射影为，面积为，取平面的上侧，单位法向量，于是由斯托克斯公式得

原式

。

(二)

1．解：的参数方程，则

所以

2．解：

所以

3．解：取坐标系如图，设重心坐标为，由扇形的对称性可知，又

4．解：

所以

5．解

所以

6．解：

1）

2）

7．解：由，，得

，，

故

故

8．解：圆周的参数方程为，

故

9．解：

10．解：如图，

：，：

故原式

11．解：由于，

又，故曲线积分与路径无关，取折线，则原式。

12．解：由于，，

又故当路径不过原点时，该曲线积分与路径无关，取折线，得

原式

13．解：取参数方程，

面积

14．解：不是闭曲线，要用格林公式，先得补添路径，使其封闭，如图

，

因为

故，所以

原式

15．解：作代换，得曲线的参数方程

，，由于，

从而，故面积

16．解：由于时，被积函数无意义，故所包围的区域不满足格林公式的条件，作一小圆挖去原点，作逆时针方向的圆周：

，，

使全部补所包围，在和为边界的区域内，根据格要公式，有

∵，故上式为零

∴

。

17．解：：，

原式

18．解：：，

原式

。

19．解：半球壳的方程为

：

。

20．解：质量为

从而垂心的坐标为

即重心坐标为。

21．解：由于曲面得分成上下两部分，记成，，又由

解得：，，所以

22．解：证在，，平面上的部分分别为，，，在面上的部分为。

故原式

(另解：可求得，由对称性可得原式也可用高斯公式)

23．解：：，由轮换对称，只要计算积分再利用广义极坐标可得

于是原式。

24．解：证，分别为锥面的底面和侧面而，，为锥面外法线的方向余弦：，则

又对上的任一点有

故在各坐标平面上射影分别为

，，

于是

故原式

25．证：由格林第一公式得

同理

两式相减得：

。

26．解：设，其中为从到的直线段，则为封闭曲线，由斯托克斯公式得

，其中是以为边界且与构成右手系的任曲面。

∴

27．证：

(三)

1．解：，

于是当时，有

当时，有

故当时，有

2．解：，于是

3．解：

质量为

于是垂心坐标为

4．解：∵，∴

但，又

∴原式

5．解：，

故当时，，因此只要路径不过轴，点到点的曲线积分与路径无关，取路径，有

原式

6．解：时，有，

改右半平面，由于是单连通区域，且在其上，故在上的是某函数的全微分，且可取

于是原式

7．解：，

，

即

解此一阶线性微分方程得

由得，故所求函数为

8．解：所求的功，，

，

当时，此积分与路径无关

故

9．解：由格林公式各

1）当（舍去），时，

2）由，得（舍去），

，

故当时，取最大值，

10．解：补上：，，上侧由高斯公式

11．解：由对称性可知

原式，：

而

故原式

12．解：取：，方向与轴同上，则

13．解：利用格林公式

原式

14．解：，，，

当时，有，积分与路径无关

15．解：

16．解：，

，

令，得

比较系数得，，

∴

∴

故的形式

17．解：，其中，，