基本不等式练习题及答案.docx

双基自测

y x 1x )．

1．(人教A版教材习题改编)函数

＝＋x(＞0)的值域为(

A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[2，＋∞)

B．(0，＋∞)D．(2，＋∞)

a＋b 1

2．下列不等式：①a2＋1＞2a；② ≤2；③x2＋ ≥1，其中正确的个

ab x2＋1

数是

A．0 B．1 C．2 D．3

3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )．

B．1 C．2 D．4

( )．

4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋1 (x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝

x－2

( )．

21＋

2

t

1＋

3y

3

C．3 D．4

t2－4t＋1

5．已知

＞0，则函数 ＝

t 的最小值为 ．

考向一 利用基本不等式求最值

x y x y

1 1

【例1】(1)已知

＞0，

＞0，且2＋

＝1，则x＋y的最小值为 ；

(2)当x＞0时，则f(x)＝

2x

的最大值为 ．

x2＋1

【训练1】(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋

1

的最小值为 ．

x－1

2

(2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为 ．5

(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为 ．

考向二 利用基本不等式证明不等式

bc ca ab

【例2】?已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：a＋b＋c≥a＋b＋c.

．

【训练2】已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.

1 1 1

求证：a＋b＋c≥9.

考向三 利用基本不等式解决恒成立问题

x

【例3】?(2010·山东)若对任意x＞0，

≤a恒成立，则a的取值

x2＋3x＋1

范围是 ．

【训练3】(2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是 ．

考向三 利用基本不等式解实际问题

【例3】?某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低

【训练3】(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n

的关系是g(n)＝ 80

.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为

n＋1

f(n)万元．

求出f(n)的表达式；

求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元

1

【试一试】(2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋ab＋a

1

a－b 的最小值是

( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

双基自测

D．(2，＋∞)答案 C

2．解析 ①②不正确，③正确，x2＋

1 1

＝(x2＋1)＋

x2＋1 x2＋1

－1≥2－1＝1.

答案 B

3．解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2 2ab，即ab 1

≤.答案

2

A

4．解析 当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋ 1 ＋2≥2

x－2

x－2 ×1 ＋2＝4，当且仅当x－2＝1(x＞2)，即x＝3时取等号，

x－2 x－2

即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.答案 C

t y t2－4t＋1 t 1 t

5．解析 ∵＞0，∴＝ t ＝＋t－4≥2－4＝－2，当且仅当 ＝1

时取等号．答案 －2

【例1】解析 (1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，

1 1 2x＋y 2x＋y y 2x y 2x

∴x＋y＝ x ＋ y ＝3＋x＋y≥3＋2 2.当且仅当x＝y时，取等号．

≤＝1，当且仅当＝，即＝1时取等(2)∵x＞0，∴f(x)＝2x＝2 2 x 1 x

≤＝1，当且仅当

＝，即

＝1时取等

x2＋1 x 1 2 x

＋x

2号．答案 (1)3＋2 (2)1

2

【训练1】．解析 (1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋

1

＋1≥2＋1＝3 当且

x－1

1 2

仅当x＝2时取等号．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，∵0＜x＜，

5 5

?5x＋2－