河北省张家口市2024届高三下学期第三次模拟考试数学试卷（含答案解析）.docx

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河北省张家口市2024届高三下学期第三次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．已知双曲线的方程为，则该双曲线的离心率为（????）

A．2 B． C． D．

3．现有一组数据，将这组数据按照从小到大的顺序排列，去掉第一个数和最后一个数后，则下列统计量一定不变的是（????）

A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差

4．已知数列为等比数列，，则（????）

A．28 B．32 C．36 D．40

5．的展开式中的系数为（????）

A． B．5 C． D．10

6．已知抛物线的焦点为F，O为原点，直线与该抛物线交于M，N两点，且，则（????）

A．12 B．13 C．14 D．15

7．已知正数m，n满足，则的最大值为（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

8．已知数列的前n项和为，且满足，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知a，b，c为三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

10．已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．函数的一个周期为

B．函数的图象关于点对称

C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为

D．若，其中为锐角，则的值为

11．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现．当前的计算机系统使用的基本都是二进制系统，数据在计算机中主要以补码的形式存储，我们用表示十进制数n在二进制下的数字各项之和（例如：，则十进制数5的二进制数为101，），则下列说法正确的是（????）

A．十进制数25的二进制数为1101 B．

C． D．

三、填空题

12．圆与圆的公切线的方程为．

13．已知向量，若，则在上的投影向量为．

14．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束．已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了，此局比赛结束时，两人的得分总和为n，则此时的概率．

四、解答题

15．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：．

16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足．

(1)证明：；

(2)若为内角A的平分线，且，求．

17．如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，且平面平面．

(1)求三棱锥体积的最大值；

(2)若，点E为线段上一点，当二面角为时，求的值．

18．已知点分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l（斜率不为0）交椭圆C于P，Q两点，当直线l的斜率不存在时，．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，且面积的最大值为，直线与直线相交于点M，求的取值范围．

19．在某项投资过程中，本金为，进行了次投资后，资金为，每次投资的比例均为x（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为r（所得利润与当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为P，在实际问题中会有多种盈利可能（设有n种可能），记利润率为的概率为（其中），其中，由大数定律可知，当N足够大时，利润率是的次数为．

(1)假设第1次投资后的利润率为，投资后的资金记为，求与的关系式；

(2)当N足够大时，证明：（其中）；

(3)将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为，其利润率为；输了的概率为，其利润率为，求最大时x的值（用含有的代数式表达，其中）．

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参考答案：

1．C

【分析】根据复数除法运算化简即可求解.

【详解】,

故对应的点为，在第三象限，

故选：C

2．C

【分析】根据关系求出，由离心率定义可得.

【详解】由可知，，所以，

所以该双曲线的离心率为.

故选：C

3．B

【分析】根据极差、中位数、平均数、方差的定义计算即可得出答案.

【详解】现有一组数据，将这组数据按照从小到大的顺序排列为，去掉第一个数和最后一个数后为.

原平均数为，删除后平均数为，不一定相等