2024年中考数学提高复习讲义：函数及其图像.docxVIP

中考专题复习之函数及其图像

知识梳理

1.平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系.

坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫作第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限.

2.不同位置的点的坐标的特征

(1)各象限内点的坐标的特征如下：

第一象限(+,+),第二象限(-,+),第三象限(-,-),第四象限(+,-).

(2)坐标轴上的点的特征如下：

在x轴上纵坐标为0，在y轴上横坐标为0，原点坐标为(0，0).

(3)两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征如下：

①点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x与y相等.

②点P(x，y)在第二、四象限夹角平分线上?x与y互为相反数.

(4)和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征如下：

①位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同.

②位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同.

(5)关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征如下：

①点P与点P关于x轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数.

②点P与点P关于y轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数.

③点P与点P关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数.

(6)点P(x，y)到坐标轴及原点的距离包括：

①到x轴的距离等于|y|.

②到y轴的距离等于|x|.

③到原点的距离等于x

3.函数及其相关概念

(1)变量与常量.在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫作变量，数值保持不变的量叫作常量.

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.

(2)函数的三种表示法：①解析法；②列表法；③图像法.

(3)由函数解析式画其图像的一般步骤：①列表；②描点；③连线.

(4)自变量的取值范围.

4.正比例函数和一次函数

(1)正比例函数和一次函数的概念.一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫作x的一次函数.

特别地,当一次函数y=kx+b中的b为0时,y=kx(k为常数,k≠0).这时,y叫作x的正比例函数.

(2)一次函数的图像是一条直线.

(3)正比例函数的性质.一般地，正比例函数y=kx有下列性质：

①当k0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大.

②当k0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小.

(4)一次函数的性质.一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：

①当k0时,y随x的增大而增大.

②当k0时,y随x的增大而减小.

(5)正比例函数和一次函数解析式的确定.确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b(k≠0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.

(6)设两条直线分别为l?:y=k?x+b?,l?:y=k?x+b?.

①若l1l2

②若l

(7)平移：上加下减，左加右减.

(8)交点坐标求法：联立方程组.

5.反比例函数

(1)反比例函数的概念.一般地，函数y=kx(k是常数，k≠0)叫作反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成

(2)反比例函数的图像是双曲线.

(3)反比例函数的性质如下：

①当k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.

②当k0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内，y随x的增大而增大.

③图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.

④图像既是轴对称图形又是中心对称图形.

⑤图像上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴所围成矩形面积等于|k|.

(4)反比例函数解析式的确定.只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.

6.二次函数

(1)二次函数的概念：一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫作x的二次函数.

(2)二次函数的图像是一条抛物线.

(3)二次函数的性质：

①a0，抛物线开口向上，对称轴是x=?b2a,顶点坐标是?b2a4ac?b24a;在对称轴的左侧，即当

②a0，抛物线开口向下，对称轴是x=?b2a,顶点坐标是?b2a4ac?b24a;在对称轴的左侧，即当

(4)二次函数的解析式有三种形式：

①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0).

②顶点式:y=ax??

③两根式:y=a

(5)抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用如下:

①a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上，a0时，抛物线开口向下.

②b与对