包络定理分析和总结.docx

五、值函数

间接目标函数

⑴ 间接目标函数的一般概念

将（带参数的）最优化模型的解代入目标函数（无约束时）或拉格朗日函数（有等式约束时）即得到间接目标函数（值函数）。换句话说，间接目标函数反映的是目标函数或拉格朗日函数的最优值与参数之间的函数关系。 如果最优化模型求的是最大值，则相应的间接目标函数亦称为最大值函数，反之称为最小值函数。

⑵ 最大值函数：无约束参数模型无约束参数模型

maxf(x,a)

x

的解为x??x(a)。代入目标函数后有 f(x?,a)。此即为最大值函数V(a)：

V(a)?f(x?,a)

⑶ 最大值函数：等式约束参数模型等式约束参数模型

maxf(x,a) s.t. g(x,a)?0

x

的拉格朗日函数模型为：

maxL(x,a,?)?max[f(x,a)??g(x,a)]

x,? x,?

它的解为：

x??x(a)

????(a)

代入拉格朗日函数后有L(x?,a,??)。此即为最大值函数V(a)：

V(a)?L(x?,a,??)?f(x?,a)???g(x?,a)?f(x?,a)

⑷ 最大值函数与目标函数

最大值函数与目标函数之间的关系可参见下图。

首先来看最大值函数，即图中的曲线 V(a)?f(x?,a)?f(x(a),a)。当参数a?a时，

1

经过最优化，选择变量为x

1

?x(a

1

)，最大值函数为V(a

1

)?f(x(a

1

),a

1

)。如果参数变化到

a?a

2

，则最优选择变量为x

2

?x(a

2

)，最大值函数为V(a

2

)?f(x(a

2

),a)。

2

其次来看目标函数，即图中的曲线f(x,a)。我们有两种方法来讨论目标函数的变化。

第一种方法是固定参数而让选择变量变化。例如，固定参数 a?a

1

而让选择变量x变化。

此时，目标函数为 f(x,a

)。由于f(x,a

)? f(x(a

),a)，故目标函数值位于点 A以下的

1 1 1 1

虚线上（包括点A）。例如，当x?x

0

时，它为点B；当x?x

1

(?x(a

1

))，它为点A。此

时，目标函数恰好与最大值函数相等，即有： f(x,a

1 1

)?f(x(a

1

),a)。

1

V

V(a)?f(x(a),a)

f(x,a)

V(a)?f(x(a),a)

V(a)?f(x(a),a)

2 2 2

f(x,a)

1 2

f(x,a)

V(a)?f(x(a),a)

1 1 1

A

f(x,a)

0 1

B

O

a

a

a

第二种方法是固定选择变量而让参数变化。例如，假定一开始时 a?a

1

、x?x。此

1

时，目标函数为 f(x,a

1 1

)?f(x(a

1

),a

1

)，即处于点A处。现在固定x?x

1

，而让参数a变

化，例如变化到a?a

2

。此时，目标函数为 f(x,a

1 2

)。由于现在的目标函数中，选择变

量并未随参数的变化而以最优的方式调整，故目标函数必小于最大值函数，即有

f(x,a

1 2

)?f(x(a

2

),a)。

2

这里的关键是：在最大值得函数V(a)?f(x(a),a)中，随着参数a的变化，选择变量x总是最优的，而在目标函数 f(x,a)中，随着a的变化，x却是任意的。在这种情况下，只有当x“偶然”地取到最优值时，目标函数才恰好等于最大值函数，而通常来说总是

小于后者。

包络定理

在上图表示的最大值函数与目标函数的关系中，我们看到，当给定参数 a之后，目标函数中的选择变量x可以任意取值。如果 x恰好取到此时的最优值，则目标函数即与最大值函数相等。而且，我们还可以注意到，当目标函数与最大值函数恰好相等时，相应的目标函数曲线与最大值函数曲线恰好相切，即它们对参数的一阶导数相等。对这