定积分概念求解课件.pptVIP

定积分的概念

一、抽象定积分概念现实原型原型（求曲边梯形的面积）yaobx

ππ面积元怎素么法求？

曲边梯形的面积的解决思路：利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可概括“分割-取近似-求和-取极限”的步骤.第一步分割；将曲边梯形的底，即[a,b]进行分割(用垂直于x轴的直线).yaobx

第二步取近似；取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积.典型小区域面积yaobx底用矩形面积近似小曲边梯形面积

第三步求和；将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来.矩形面积和与曲边梯形面积不相等y有误差aobx

第四步取极限.当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积.yaobx

二、定积分的定义定义以直代曲求和

取极限积分和积分上限积分下限被积函数积被积分表变达量式

注意：

定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值

几何意义

例1解

π

三、定积分的性质定理定理

定理（积分区间的可加性）补充：不论的相对位置如何,上式总成立.SSScbacacb

定理πππ

对定积分的补充规定:

定理（保序性）推论（保号性）

定理（有界性）

例2ππ解πππππππ.

定理（绝对值不等式）用保序性证得

定理（积分中值定理）积分中值公式的几何解释

定积分的计算

定积分计算如何计算定积分？定义很复杂，直接计算很困难.需要转换新的思路.根据几何意义，图不好画

微积分基本定理定理牛顿-莱布尼茨公式

微积分基本公式表明：求定积分问题转化为求原函数的问题

先看成不定积分问题，求出原函数.π例1求提示与分析：解πππ

例2例如

第一换元法问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令

到底该令哪个式子为u考虑

一定要换积分上、下限

第一换元（凑微分）法常用的几种配元形式:

例4计算解

说明:使用第一换元法的关键在于将化为观察重点不同，所得结论形式不同.

π例5计算提示与分析：用凑微分法求解.ππ解一ππππ解二ππ

解三

第二换元积分法第二类换元法第一类换元法难求易求难求易求

定积分的第二换元积分法

应用换元公式时要注意:

第二换元法

如何去掉根式？例7计算三角代换π解令πππ

ππππππππ

π例8计算ππ解ππ=0π

例9计算解

练习1求2求

1求

2求

提示与分析：含有根式,可采用换元定积分,去掉根号.