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拔高点突破01一网打尽平面向量中的范围与最值问题
目录TOC\o1-2\h\z\u
01方法技巧与总结 2
02题型归纳与总结 5
题型一:利用三角向量不等式 5
题型二:定义法 6
题型三:基底法 7
题型四:几何意义法 7
题型五:坐标法 8
题型六:极化恒等式 9
题型七:矩形大法 10
题型八:等和线、等差线、等商线 10
题型九:平行四边形大法 12
题型十:向量对角线定理 14
03过关测试 14
技巧一.平面向量范围与最值问题常用方法:
(1)定义法
第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系
第二步:运用基木不等式求其最值问题
第三步:得出结论
(2)坐标法
第一步:根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标
第二步:将平面向量的运算坐标化
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解
(3)基底法
第一步:利用其底转化向量
第二步:根据向量运算律化简目标
第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论
(4)几何意义法
第一步:先确定向量所表达的点的轨迹
第二步:根据直线与曲线位置关系列式
第三步:解得结果
技巧二.极化恒等式
(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:
证明:不妨设,则,
①
②
①②两式相加得:
(2)极化恒等式:
上面两式相减,得:————极化恒等式
①平行四边形模式:
几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
②三角形模式:(M为BD的中点)
A
A
B
C
M
技巧三.矩形大法
矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点,证明:.
【证明】(坐标法)设,以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy,
则,设,则
技巧四.等和线
(1)平面向量共线定理
已知,若,则三点共线;反之亦然.
(2)等和线
平面内一组基底及任一向量,,若点在直线上或者在平行于的直线上,则(定值),反之也成立,我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线.
①当等和线恰为直线时,;
②当等和线在点和直线之间时,;
③当直线在点和等和线之间时,;
④当等和线过点时,;
⑤若两等和线关于点对称,则定值互为相反数;
技巧五.平行四边形大法
1、中线长定理
2、为空间中任意一点,由中线长定理得:
两式相减:
技巧六.向量对角线定理
题型一:利用三角向量不等式
【典例1-1】已知,,则的范围是.
【典例1-2】(2024·浙江杭州·模拟预测)已知,则向量的范围是.
【变式1-1】已知,,且,则的最大值为(????)
A.5.5 B.5 C.6.5 D.6
【变式1-2】(2024·高三·浙江金华·开学考试)已知向量满足,,则的范围是(????)
A. B. C. D.
【变式1-3】(2024·河北保定·二模)如图,圆和圆外切于点,,分别为圆和圆上的动点,已知圆和圆的半径都为1,且,则的最大值为(????)
A.2 B.4 C. D.
【变式1-4】已知平面向量满足,设,若,则的取值范围为________.
题型二:定义法
【典例2-1】已知向量、满足:,.设与的夹角为,则的最大值为___________.
【典例2-2】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹,先于器外的上腹施一圈红色底衬,然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成,黑线勾边,中为方形或圆形,且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长,传播范围亦广,在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形,在图2中,圆中各个三角形(如△ACD)为等腰直角三角形,点O为圆心,中间部分是正方形且边长为2,定点A,B所在位置如图所示,则的值为(????)
A.14 B.12 C.10 D.8
【变式2-1】已知点A,B,C均位于单位圆(圆心为O,半径为1)上,且的最大值为(????)
A. B. C. D.
【变式2-2】已知是半径为5的圆上的两条动弦,,则最大值是(????)
??
A.7 B.12 C.14 D.16
题型三:基底法
【典例3-1】已知的内角的对边分别为,若,,为的中点,为的中点,,则的最大值为.
【典例3-2】在中,,,点D为的中点,点E为的中点,若,则的最大值为.
【变式
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