《数字信号处理》课件第6章 (2).ppt

设希望滤波器频率响应Hd(ejω)对应的单位采样响应为hd(n)，由频率采样定理知道，当我们讨论的H(k)是在频域0～2π之间等间隔采样所得N点的样本时，由其IDFT得到的单位采样响应应是hd(n)以N为周期的周期性延拓。此时若截取它的一个周期，则可得（6-81）如果hd(n)是时限的，且持续时间小于N，则h(n)与hd(n)完全相同。但是若Hd(ejω)是分段连续的，存在着突变点，那么相应的单位采样响应hd(n)应是无限长的。这样，由于时域混叠，将使所设计的h(n)与hd(n)有偏差,因此，希望在频域的采样点数N加大。N愈大，设计出的滤波器愈逼近其Hd(ejω)。上面从时域角度分析了误差来源,如果从频域考虑，由频率采样定理的内插公式可以得到实际FIR数字滤波器的系统函数及其频率响应（6-82）式中φ(ω)是内插函数， 。由内插公式（6-82）可知，在各频率采样点上，实际滤波器的频率响应与希望滤波器频率响应的数值严格相等。但在取样点之间的频率响应则是由各采样点的加权内插函数的加权叠加形成的，因而存在一定的逼近误差。误差大小则取决于希望频率响应的曲线形状和采样点的密度。希望频率响应变化越平缓，内插值越接近希望值，逼近误差越小。反之，如果采样点之间的希望频率特性变化越迅速，则内插值与希望值的误差就越大。因此，在希望频率特性的不连续点附近会形成振荡特性。采样点数愈多，即采样频率越高，误差越小。图6.20表示所要求的频率响应Hd(ejω)及由频率采样的连续内插所得到的H(ejω)，图中实线为理想频率响应Hd(ejω)，圆点表示其采样值H(k),虚线表示H(k)的连续内插，即H(ejω)。图（b）为理想的梯形频率响应，变化较缓慢，H(ejω)对Hd(ejω)逼近较好。图（a）为一理想矩形频率响应，在通带和阻带之间不连续，变化剧烈，H(ejω)对Hd(ejω)逼近较差，出现的肩峰和起伏比图（b）要大。图6.20频率采样的说明为了减小逼近误差，也就是要减小在通带边缘由于采样点的突变而引起的起伏振荡。与窗函数法的平滑截断一样，增加过渡带，减小频带边缘的突变，可减小起伏振荡。这样就需要在希望频率响应不连续点的边缘增加一些过渡的采样点，一般增加1～3个过渡采样点，如图6.21所示，即可得到满意的效果。这些过渡采样点取值不同，逼近的效果也不同，因为由式（6－82）看出，每一个频率采样值，都将产生一个与常数 成正比,且在频率上位移(2πk)/N的频率响应，而FIR滤波器的频率响应就是各H(k)与相应的内插函数 相乘后的线性组合。如果精心设计过渡带的采样值，就有可能使有用频带（通带、阻带）的波纹得到减小，从而设计出较好的滤波器。在低通滤波器设计中，一般不加过渡采样点时，阻带最小衰减为20dB。采用一个过渡采样点的最优设计，阻带最小衰减可提高到44～54dB左右；采用二个过渡采样点的最优设计可达60～75dB；采用三个过渡采样点的最优设计可达80～95dB左右。当然阻带衰减增大了，过渡带也就加宽了。图6.21理想低通滤波器增加过渡点如果要设计线性相位FIR滤波器，则采样值H(k)的幅度、相位必须满足一定的约束条件。第四章我们介绍了线性相位FIR滤波器的特点，根据这些特点可以推导出其幅度特性和相位特性应满足的约束条件，这里不再赘述。频率采样设计法特别适用于设计窄带选频滤波器,因为这时非零值的H(k)的个数很少，因而计算量也小。6.3.3利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器前介绍了两种FIR滤波器设计方法，其中窗函数法是用窗函数直接截取希望设计的滤波器的hd(n)一段，作为滤波器的h(n)，这是时域逼近法。而频率采样法则是直接在频域采样，利用频域采样值逼近希望滤波器响应，也称频域逼近法。这两种方法的结果在频域不连续点附近误差较大，且边界频率不易控制。因此，用以上两种设计法使整个频域满足技术指标要求，某些区域必然超过这个要求。下面介绍一种等波纹逼近法，它使误差在整个频带均匀分布，面对同样的技术指标，这种逼近法需要的滤波器阶数低。而对同样的滤波器阶数，这种逼近法的最大误差最小。等波纹最佳一致逼近准则是根据滤波器的设计指标，导出一组条件，在此条件下使整个逼近的频率范围内（包括通带和阻带）逼近误差绝对值的最大值为最小。可以证明，用这种优化准则设计的滤波器，在通带和阻带内必然呈现等波纹幅度特性，所以称之为“等波纹最佳一致逼近”，也称为“切比雪夫逼近”。设希望滤波器的幅度函数为Hd(ω)，实际逼近滤波器的幅度函数为Hg(ω)，逼近误差加权函数为W(ω)，则加权逼近误差函数定义为