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《直线的方程》应试拓展
拓展1灵活选择直线方程的几种形式
求直线方程时,根据已知条件,灵活选择直线方程的几种形式.
名称
已知条件
标准方程
使用范围
点斜式
斜率k,直线上一点(x0,y0)
y?y0=k(x?x0)
k存在
斜截式
斜率k,y轴上截距b
y=kx+b
k存在
两点式
直线上两个定点(x1,y1),
(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)
直线既不能垂直于x轴,也不能垂直于y轴
截距式
x,y轴上的截距a,b(ab≠0)
直线既不能垂直于x轴,也不能垂直于y轴,且不过原点
一般式
A,B不同时为0
Ax+By+C=0
通用
【例1】求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点,倾斜角的正弦值为;
(2)经过点,并且在两坐标轴上的截距相等;
(3)经过点,且直线的一个方向向量.
解:(1)由题可知,则直线经过点直线的方程为
,即或.
(2)①当截距为0时,直线过点,
则直线的斜率,因此,直线的方程为,即.
②当截距不为0时,可设直线的方程为.
∵直线过点,解得直线的方程为.
综上可知,直线的方程为或.
(3)∵直线过点,直线的方向向量,
∴直线的斜率.
则直线的方程为,
即.
【关键技巧】求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法,但在特定条件下,应考虑下面的设法:
(1)已知直线的纵截距,常设方程的斜截式;
(2)已知直线的横截距和纵截距,常设方程的截距式(截距均不为0);
(3)已知直线的斜率和所过的定点,常设方程的点斜式,但如果只给出一个定点,一定不要遗漏斜率不存在的情况;
(4)仅知道直线的横截距,常设方程形式:(其中是横截距,是参数),注意此种设法不包含斜率为0的情况,且在后面要学的圆锥曲线章节中经常使用.
拓展2利用直线方程判定直线的位置关系
(1)平行的判定有两种方法:一种是利用直线的斜截式方程,当两条直线斜率都存在时,设且;一种是利用直线的一般式方程,设且或.
(2)垂直的判定与平行的类似,同样有两种方法.一种是直线斜率都存在时利用直线的斜截式方程,;一种是利用直线的一般式方程,.
因此垂直的判定用直线的一般式方程较好,不必分类讨论;平行的判定用直线的斜截式方程较好,虽然要分类讨论,但判定条件很简洁.
【例2】已知两直线,当为何值时,直线与:
(1)平行;(2)垂直.
解:方法一(化斜截式):当时,与相交且不垂直.
当时,.
(1),且,解得.
∴当时,.
(2),解得当时,.
方法二(一般式):(1)或.
∵当时,与重合,∴舍去∴当时,.
(2),解得当时,.
拓展3利用直线系方程求直线的方程
确定一条直线需要两个独立条件,只具有一个独立条件的直线有无数条,所有这些直线的集合称为直线系,如:表示过定点,且斜率存在的直线系;R)表示斜率为?2的平行直线系.
【例3】已知直线.
(1)求证:不论为何值,直线总经过第一象限;
(2)直线不经过第二象限,求实数的取值范围.
(1)证明:方法一:将直线的方程整理为,
∴的斜率为,且过定点.
而点在第一象限,故不论为何值,直线总经过第一象限.
方法二:直线的方程可化为.
∵上式对任意的都成立,
∴解得即过定点.以下同方法一.
(2)解:由(1)知,要使不经过第二象限,只需它在轴上的截距不大于零.
令,则,即实数的取值范围为.
【关键技巧】本例给出的是含有一个参数的直线方程,将它适当变形可以发现其恒过定点,即所给方程可表示过定点的直线系,这是解题的关键.若直接变形有困难可采用方法二“分离参数和变量”,求出定点,利用几何图形的性质直观地解题.
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