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《用空间向量研究直线、平面的位置关系》知识清单

知识点1空间中点、直线和平面的向量表示

1.点的位置向量

如图,在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量①_______来表示.我们把向量②________称为点的位置向量.

2.空间直线的向量表示式

如图(1),是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在直线上的充要条件是存在实数,使得,即.进一步地,如图(2),取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使③________(i),将代入(i)式,得④_______(ii).(i)式和(ii)式都称为空间直线的向量表示式.

3.空间平面的向量表示式

如图,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,使⑤________(iii).我们把(iii)式称为空间平面的向量表示式.

4.法向量

如图,直线,取直线的方向向量,我们称向量为平面的⑥_______.给定一个点和一个向量,那么过点,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合⑦_________.

知识点2空间中直线、平面的平行

位置关系

向量表示

线线平行

设分别是直线的方向向量,则,使得⑧__________

线面平行

设是直线的方向向量,是平面的法向量,,则⑨___________

面面平行

设分别是平面的法向量,则,使得⑩__________.

知识点3空间中直线、平面的垂直

位置关系

向量表示

线线垂直

设直线的方向向量分别为,则?_______?__________

线面垂直

设直线的方向向量为,平面的法向量为,则?__________,使得?________

面面垂直

设平面的法向量分别为,则?_______?_________

【答案】

①②③④⑤

⑥法向量⑦⑧⑨⑩?

?????

【知识辨析】判断正误,正确的画“√”,错误的画“”.

1.直线的方向向量是唯一的.()

2.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.()

3.若向量是直线的一个方向向量,则向量也是直线的一个方向向量.()

4.已知直线垂直于平面,向量与直线平行,则是平面的一个法向量.()

5.若直线是平面外的一条直线,直线垂直于在平面内的投影,则与垂直.()

6.一个平面的法向量有无数多个,任意两个都是共线向量.()

【答案】

1.×与直线平行或共线的任何向量都可作为的方向向量.

2.√

3.×此命题成立的前提条件是.

4.×不一定.当时,也满足,但不是平面的一个法向量.

5.×不一定.若直线在平面外,例如,尽管垂直于直线在平面内的投影,但也不能得出的结论.

6.√