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圆
模型(三十九)——折弦定理模型
如图,ABBC,像是一条折断的弦
◎结论:AB、BC是⊙O的两条弦,M为的中点,MD⊥BC,垂足为D,
AB+BD=CD
【证明】如图
在DC上取点E,使DE=DB,连接BM,ME,,AM,CM,AC
∵BD=DE,MD⊥BE,
∴MB=ME
∵M为ABC的中点
∴MA=MC
∵∠MBC=∠MAC
∴∠MEB=∠MCA,
∵∠BME=180°-∠MBE-∠MEB,
∠AMC=180°-∠MAC-∠MCA,
∴∠BME=∠AMC,
∴∠BMA=∠EMC,
易证△BMA≌△EMC,∴AB=CE,∴AB+BD=CD
12021⊙OABC
.(年四川省成都市金堂县中考数学二诊试卷)在中AB=AC,顺次连接、、.
(1)1MMNACBCNMNO
如图,若点是AC的中点,且∥交延长线于点,求证:为⊙的切线;
(2)如图2,在(1)的条件下,连接MC,过点A作AP⊥BM于点P,若BP=a,MP=b,CM=c,则a、b、
c有何数量关系?
(3)如图3,当∠BAC=60°时,E是BC延长线上一点,D是线段AB上一点,且BD=CE,若BE=5,△AEF
的周长为9,请求出S△AEF的值?
【答案】(1)见解析
(2)a=b+c
153
(3)
16
11OMMOM⊥ACOM⊥MN
【分析】()如图,连接,由是AC的中点,可得,进而可得,即可证得结论;
22OMACKAMAC=AB=222
()如图,连接交于,连结,运用勾股定理得出c-b+a,再由
△ABP∽△MCK,即可得出结论;
(3)过点B作BH∥AC,过点D作DH∥BC,BH与DH交于点H,连接CH,先证明△ACE≌△CBH(SAS),
再证明四边形CEDH是平行四边形,过点E作ET⊥AB于点T,交AC于点L,连接DL,可证明四边形BCLH
是平行四边形,设CE=x,则CL=x,BC=AC=5-x,AD=DL=AL=5-2x,用含x的代数式表示AE2,延长BH,
ED交于点R,则∠RHD=∠FCE,∠R=∠CFE,DH=CE,进而可得△HDR≌△CEF(AAS),根据CH∥ED,可
得出AE的长,再求出x,即可求得答案.
(1)
如图1,连接OM,
∵M是AC的中点,
∴OM⊥AC,
∵MN∥AC,
∴OM⊥MN,
∵OM为⊙O的半径,
∴MN为⊙O的切线;
(2)
如图2,连接OM交AC于K,连结AM,
∵M是AC的中点,
∴=¼,
ACCM
∴AM=CM=c,
∵AP⊥BM,
∴∠APM=∠APB=90°,
22222
∴AP=AM﹣PM=c﹣b,
2222
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