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2021(数学类)参考答案

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2021浙江省高等数学（微积分）竞赛试题

数学类参考答案

一、计算题（每小题14分，满分70分）

1．求极限。

解：记，

原极限

2．求异面面直线与的公垂线的方程。

解：，公垂线法矢量为

过公垂线与的平面，其法矢量为

取上点，则方程为

即：

同理可得过公垂线与的平面的方程为：

所以公垂线的方程为

3．求积分,其中为常数。

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4．设，证明收敛并求和函数。

解：

所以

所以收敛。

且

5．已知二元函数满足，且求的表达式。

解：

为为任意函数

二、（满分20）设，求

解：

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记则

且即单调减有下界

所以收敛所以欧拉常数

三、（满分20分）

设在上连续，在上可导，，证明：

。

解：若则由罗尔定理

若则考虑函数

所以又

所以即

四、（满分20分）证明：在上严格单调增。

解：严格单调增等价于的严格单调增

记则从而是凸函数

所以

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所以严格单调增。

五、（满分20分）

设，，证明：

1）。2）级数收敛

解：由微分中值定理得使

一般地

因为所以

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