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高中数学精编资源
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《圆与圆的位置关系》应试拓展
拓展1几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程;
(2)求两圆的圆心坐标和半径;
(3)求两圆连心线的长;
(4)比较连心线的长与两圆半径的和(或差的绝对值)的大小关系;
(5)得出结论.
圆与圆的位置关系(圆,圆的半径分别为)
关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
量的
关系
|O1O2|r1+r2
|O1O2|=r1+r2
|r1?r2||O1O2|r1+r2
|O1O2|=|r1?r2|
|O1O2||r1?r2|
拓展2两圆相交时问题的处理
1.公共弦方程:两圆相交时,两圆方程作差得公共弦所在直线的方程,即,得方程为.
2.公共弦长:(1)代数法:将两圆的方程联立,解出两交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.
(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,在圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形中,根据勾股定理求出半弦长,进而求出弦长.
【例1】求两圆和的公共弦所在直线的方程及公共弦长.
解:联立两圆方程,得方程组
两式相减,得,此即为两圆公共弦所在直线的方程.
方法一:设两圆相交于两点,则点的坐标满足方程组
解得或
所以,即公共弦长为.
方法二:由,得,其圆心坐标为,半径,圆心到直线的距离.
设公共弦长为,由勾股定理得,即,解得,故公共弦长为.
拓展3两圆公切线方程的确定
(1)当公切线的斜率存在时,可设公切线的方程为,由公切线的意义(两圆公共的切线)可知,两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径,这样得到关于和的方程组,解这个方程组得到的值,写出公切线的方程.
(2)当公切线的斜率不存在时,要注意运用数形结合的方法,观察并写出公切线的方程.
拓展4常见的圆系方程
(1)同心圆系方程:(其中为定值,为参数).
(2)半径相等的圆系方程:(为定值,其中为参数).
(3)过直线与圆的交点的圆系方程:或.
(4)过两圆的交点的圆系方程:(其中不含圆.
【例2】求圆心在直线上,且过两圆和的交点的圆的方程.
解:设经过两圆交点的圆的方程为,
即,所以圆心坐标为.
又圆心在直线上,所以,即.
所以所求圆的方程为.
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