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2019必威体育精装版高等数学（下册）期末考试试题（含答案）

一、解答题

1．设，求证：.

证明：,

由z关于x,y的对称性得

故

2．验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个函数u(x,y)：

(1)(x+2y)dx+(2x+y)dy；

(2)2xydx+x2dy；

(3)(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy；

(4)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy．

解：证：(1)P=x+2y，Q=2x+y．

，所以(x+2y)dx+(2x+y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分．

(2)P=2xy,Q=x2,，故2xydx+x2dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分．

(3)P=3x2y+8xy2，Q=x3+8x2y+12yey，，故(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某个定义在整个xOy面内函数u(x,y)的全微分，

(4)P=2xcosy+y2cosx，Q=2ysinx-x2siny，，，

有，故(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy是某一个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分，

3．应用格林公式计算下列积分：

(1)，其中L为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；

(2)，其中L为正向星形线；

(3)，其中L为抛物线2x=πy2上由点(0,0)到(,1)的一段弧；

(4)，L是圆周上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；

(5)，其中m为常数，L为由点(a,0)到(0,0)经过圆x2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）．

图11-4

解：(1)L所围区域D如图11-4所示，P=2x-y+4，

Q=3x+5y-6，，，由格林公式得

(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex，

则，

．

从而，由格林公式得．

(3)如图11-5所示，记，，围成的区域为D．（其中=-L）

图11-5

P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2

，

由格林公式有：

故

(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．

图11-6

由格林公式有

而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．

，，即，

于是

从而

(5)L，OA如图11-7所示．

图11-7

P=exsiny-my，

Q=excosy-m，

，

由格林公式得：

于是：

4．求下列线性微分方程的通解：

;

解：由通解公式

；

解：方程可化为

由通解公式得

解：

;

解：

.

;

解：方程可化为

解：方程可化为

5．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：

;

解：分离变量，得

积分得.

以代入上式得

故方程特解为.

.

解：分离变量，得

积分得

将代入上式得

故所求特解为.

6．计算下列对面积的曲面积分：

（1），其中为平面在第I卦限中的部分；

（2），其中为平面2x+2y+z=6在第I卦限中的部分；

(3),其中为球面x2+y2+z2=a2上z≥h(0ha)的部分；

(4)，其中为锥面被柱面x2+y2=2ax所截得的有限部分；

(5)，其中为上半球面.

解：（1）(如图10-69所示)

图10-69

故

(2):z=6-2x-2y(如图10-70所示)。

图10-70

故

(3)且其在xOy面上的投影为Dxy:x2+y2≤a2-h2且

故

.

(4)

故

(5)Dxy:x2+y2≤R2

故

7．计算，其中是：

（1）锥面z=及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面；

（2）锥面z2=3(x2+y2)被平面z=0和z=3所截得的部分。

解：（1），其中:

故

.

因此

(2)所截得锥面为

故

.

8．计算下列对弧长的曲线积分：

(1)，其中L为圆周x=acost,y=asint(0≤t≤2π);

(2),其中L为连接（1,0）及（0，1）两点的直线段；

(3),其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界；

(4)，其中L为圆周x2+y2=a2，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；

(5)，其中为曲线x=etcost,y=etsint,z=et上相应于t从0变到2的这段弧；

(6)，其中为折线ABCD，这里A，B，C，D依次为点（0,0,0）,(0,0,2),(1,0,2),

(1,3,2)；

(7)，其中L为摆线的一拱x=a(t-sint)，y=a(1-