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2019必威体育精装版高等数学（下册）期末考试试题（含答案）

一、解答题

1．球心在原点，半径为R的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球的距离成正比，求这球体的质量。

解：利用球面坐标计算：

Ω：则

2．求下各微分方程的通解：

;

解：

得相应齐次方程的通解为

令特解为,代入原方程得

,

解得,故,

故原方程通解为.

;

解：

对应齐次方程通解为

令,代入原方程得

比较等式两边系数得

则

故方程所求通解为.

;

解：

,

对应齐次方程通解为

令代入原方程得

解得

则

故所求通解为.

;

解：

相应齐次方程的通解为

令，代入原方程并整理得

得

则

故所求通解为.

;

解：

相应齐次方程通解为

令代入原方程得

得

则

故所求通解为

.

解：

对应齐次方程通解为

令代入原方程得

故原方程通解为.

3．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

;

解：特征方程为

解得

通解为

由初始条件得

故方程所求特解为.

解：特征方程为

解得

通解为

由初始条件得

故方程所求特解为.

解：特征方程为

解得

通解为

由初始条件得

故方程所求特解为.

.

解：特征方程为

解得

通解为

由初始条件得

故方程所求特解为.

4．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：

;

解：令，则,

原方程可化为

由知，，从而有

由,得

故或.

;

解：令，则.

原方程可化为

则

以代入上式得

则

当x=1时，y=0代入得

故所求特解为.

;

解：

当，得

以x=0,y=0代入上式得

故所求特解为.

;

解：令，则.

原方程可化为

以代入上式得.

以x=0,y=1代入上式得

故所求特解为

;

解：令，则.

原方程可化为

即

积分得

以代入上式得,

则

以x=0,y=0代入得，

故所求特解为

即.即.

.

解：令

原方程可化为

以代入得

故

由于.故，即

积分得

以x=0,y=1代入得

故所求特解为.

5．计算下列对坐标的曲面积分：

(1)，其中Σ是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧；

(2)，其中Σ是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；

(3)，其中f(x,y,z)为连续函数，Σ是平面x-y+z=1在第Ⅳ封限部分的上侧；

(4)，其中Σ是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；

(5)，其中Σ为曲面与平面z=h(h0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；

(6)，其中Σ为x=y=z=0，x=y=z=a所围成的正方体表面，取外侧为正向；

解：(1)Σ：，下侧