奥数最大公因数、最小公倍数讲义及答案版.docx

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【知识要点】

数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室 姓名 学号

1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。

2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。

3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：

（1）（a，b）×［a，b］=a×b；

若a＞b，则a－b与b的最大公因数就等于a与b的最大公因数。

a+b与b的最大公因数，等于a与b的最大公因数。

【典型例题】

例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是 168，最大公因数是 4，求乙数。

解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.

例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？

解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因

此正方形边长是长方形长与宽的最大公因数。（ 90，42）=6.至少能剪 90

×42÷（6×6）=105（块）.

例3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看

错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积 407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？

解：473与407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43

×11，407＝37×11，所以甲数是 47，甲乙两数的乘积应为： 47×11=517

或1×477=477.

例4.有一种自然数，它加上 1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是

4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则

这种自然数中除1以外，最小数是多少？

解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。

【精英班】例5、两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公因数，得到两个商的和是16，请写出这两个整数。

解：1925=5×5×7×11，两个商都是1925的因数，互质，而且和为16，所以这两个商分别为5、11.即：1925÷5=385，1925÷11=175.

【竞赛班】例6、大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个环形花圃的周长。他俩的起步和走的方向完全相同。小明的平均步长54厘米，爸爸平均步长72厘米，由于两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下60个脚印，这个花圃的周长是多少米？

解：根据题意从第一个脚印重合到下一个重合脚印点的路程长度是他们步长的最小公倍数。［54，72］=216，在这216厘米的路程中小明留下216÷54=4个脚印，

爸爸应留下216÷72=3个脚印，由于两人最后重合了一个脚印，所以雪地上实际只留下4+3－1=6个脚印。周长：216×（60÷6）=2160厘米=21.6米。

【课后分层练习】A组：入门级

甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是 288，最大公因数是 4，乙数应该

是多少？

解：甲数×乙数=288×4，所以乙数=288×4÷36=32.

两个数的最大公因数是 21，最小公倍数是126.这两个数的和是多少？解：126=21×6＝21×2×3，所以这两个数是 21×2与21×3；或21与21

×6，从而这两个数的和是：21×2+21×3=105或21+21×6=147.

从运动场一端到另一端全长 96米，从一端起到另一端每隔 4米插一面小红旗。现在要改成每隔 6米插一面小红旗，问可以不拔出来的小红旗有多少面？

解：因为［6，4］=12，可以不拔出来的小红旗有 96÷12+1=9（面）

三位小朋友每人隔不同的天数到图书馆一次：甲隔 2天去一次，乙隔 3天去一次，丙隔 4天去一次。上次他们在星期二在图书馆相遇，还要多

少天他们才能再在图书馆相遇；相遇时是星期几？解：［3，4，5］=60