湖南省长沙市周南中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题（含答案解析）.docx

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湖南省长沙市周南中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（?????）

A． B． C． D．

2．关于的方程在复数范围内的两个根，则（?????）

A． B． C． D．

3．已知向量中，是单位向量，与的夹角为，则（?????）

A．2 B． C． D．-1

4．在空间中，已知为不同的直线，为不同的平面，则下列判断正确的是（?????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

5．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（?????）

A．4 B．3 C．2 D．1

6．的展开式中的系数为（?????）

A．180 B．210 C．240 D．250

7．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（?????）

A．充分不必要条件 B．充分必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知分别为双曲线的左、右顶点，过双曲线的左焦点作直线交双曲线于两点(点异于)，则直线的斜率之比（?????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列结论正确的是（?????）

A．若随机变量，且，则

B．若随机变量满足，则

C．若样本数据线性相关，则用最小二乘法估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点

D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断与有关

10．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若，则下列说法正确的是（?????）

A．为定值

B．抛物线的准线方程为

C．过两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上

D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于两点，则

11．已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足:，且在上单调递减，，则下列结论正确的是（?????）

A． B．

C．为奇函数 D．在定义域内单调递减

三、填空题

12．已知数列的通项公式为:，其前项和为，若成等比数列，则k=

13．已知，则

14．若平面直角坐标系内两点满足:（1）点都在的图象上;（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”.已知函数，则的“姊妹点对”有个.

四、解答题

15．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求A；

(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．

16．某高新技术企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品为次品.现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场.

(1)若质检员检测出一件次品，求该产品仅有一个电子元件是次品的概率;

(2)现有两种方案，方案一:安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线;方案二:安排一个质检员检测成品，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个.已知每个质检员每月的工资约为3000元，该企业每月生产该产品件，请从企业获益的角度选择最优方案.

17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点.

(1)求证:平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

18．已知椭圆的对称中心为坐标原点，焦点在轴上，的离心率为，且过点，等轴双曲线以的焦点、为顶点，动点在的右支上且异于顶点.

(1)求与的方程;

(2)设直线、的斜率分别为、，直线与相交于点、，直线与相交于点、.是否存在常数使得，若存在求出的值，若不存在，请说明理由.

19．微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．

(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；

(2)已知函数，其中．

①证明