培优专题09 全等三角形十大模型之角平分线和半角模型-解析版.pdfVIP

培优专题09全等三角形的十大模型之

角平分线和半角模型

◎模型九：角平分线模型

【模型1】：如图一，角平分线+对称型

A

AＭ

C

A

Ｃ

BＮO

Ｂ

图一

利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用

对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧

【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS）、全等三角形对应角相等

【模型2】：如图二，角平分线+垂直两边型

角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等．

Ｃ

A

E

C

D

B

OF

Ｂ如图二Ｏ

【几何语言】：∵OC为∠AOB的角平分线，D为OC上一点DE⊥OA，DF⊥OB

∴△OED△OFD(AAS)∴DE=DF

，

【模型3】如图三，角平分线+垂直角平分线型

如图三

【说明】：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而

得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来

【模型四】角平分线+平行线型

M

QO

3P

2

O1N

如图四

【说明】：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提

供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系

12022··BD△ABCBD=BCEBD

．（全国八年级）已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，

BE=BAEEF⊥ABF①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC

，过作，为垂足，下列结论：

④BA+BC=2BF其中正确的是（）

A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④

D

【答案】

DABD≌DEBCÐBCE=ÐBDAAD=EC①②

【分析】易证，可得，可得正确；再根据角平分线的性质可求

得ÐDAE=ÐDCE，即③正确，根据③可判断④正确；

∵BD∠ABC

【详解】为的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

∴在△ABD和△EBD中，BD=BC，∠ABD=∠CDB，BE=BA，

∴△DABD≌DEBC(SAS)，故①正确；

∵BD平分∠ABC，BD=BC，BE=BA，

∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，

∵△ABD≌△EBC，

∴∠BCE=∠BDA，

∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，

故②正确；

∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，

∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，

∴∠DCE=∠DAE，

∴△ACE是等腰三角形，

∴AE=EC，

∵△ABD≌△EBC，

∴AD=EC，

∴AD=AE=EC，

故③正确；

EG⊥BCG

作，