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第七讲含绝对值的方程及不等式

第七讲含绝对值的方程及不等式

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第七讲 含绝对值的方程及不等式

从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的．由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点．本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法．

一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：

含绝对值的不等式的性质：

(2)｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；(3)｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．

由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．

例1解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7．

分析解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零

掉绝对值符号再求解．

解(1)当x≥2时，原方程化为

(x-2)+(2x+1)=7，

-(x-2)+(2x+1)=7．

应舍去．

-(x-2)-(2x+1)=7．

说明若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解，应舍去．

例2求方程｜x-｜2x+1｜｜=3的不同的解的个数．

为只含有一个绝对值符号的方程．然后再去掉外层的绝对值符号求解．

｜x-(2x+1)｜=3，

即 ｜1+x｜=3，

所以 x=2或x=-4．

｜x+(2x+1)｜=3，

即 ｜3x+1｜=3，

的个数为2．

的

例3若关于x的方程｜｜x-2｜-1｜=a有三个整数解．则a的值是多少？解若a＜0，原方程无解，所以a≥0．由绝对值的定义可知

｜x-2｜-1=±a，

所以｜x-2｜=1±a．

(1)若a＞1，则｜x-2｜=1-a＜0，无解．｜x-2｜=1＋a，x只能有两个解x=3+a和x=1-a．

(2)若0≤a≤1，则由｜x-2｜=1+a，求得

x=1-a或x=3+a；

由｜x-2｜=1-a，求得

x=1+a或x=3-a．

原方程的解为x=3+a，3-a，1+a，1-a，为使方程有三个整数解，a必为整数，所以a只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．

综上可知，a=1．

例4已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围．解设x为方程的负根，则-x=ax+1，即

所以应有a＞-1．反之，a＞-1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax＋1，即

所以a＜1．反之，a＜1时，原方程有正根．

综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1．例5设

求x+y．

分析从绝对值的意义知

两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零．解由题设有

把③代入①得

解之得y=-3，所以x=4．故有

x+y=4-3=1．

例6解方程组

分析与解由①得x-y=1或x-y=-1，即

x=y+1或x=y-1．

与②结合有下面两个方程组

解(Ⅰ)：把x=y+1代入｜x｜+2｜y｜=3得

｜y+1｜+2｜y｜=3．

组(Ⅰ)的解为

同理，解(Ⅱ)有

故原方程组的解为

例7解方程组

解由①得

x+y=｜x-y｜+2．

因为｜x-y｜≥0，所以x+y＞0，所以｜x+y｜=x+y．③把③代入②有

x+y=x+2，所以y=2．将之代入①有｜x-2｜=x，所以

x-2=x，④

或x-2=-x．⑤

④无解，所以只有解⑤得x=1．故

为原方程组的解．

说明本题若按通常的解法，区分x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．

例8解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．

＜x≤5，x＞5．

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-(x-5)-[-(2x+3)]＜1，

-(x-5)-(2x+3)＜1，

(3)当x＞5时，原不等式化为

x-5-(2x+3)＜1，

的解