高中数学选修2-2导数的几何意义.doc

1.1.3导数的几何意义

[学习目标]1.理解曲线的切线的含义.2.理解导数的几何意义.3.会求曲线在某点处的切线方程.4.理解导函数的定义,会用定义法求简单函数的导函数.

知识点一曲线的切线

如图所示,当点Pn沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.

(1)曲线y＝f(x)在某点处的切线与该点的位置有关；

(2)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷多个.

思考有同学认为曲线y＝f(x)在点P(x0,y0)处的切线l与曲线y＝f(x)只有一个交点,你认为正确吗？

答案不正确.曲线y＝f(x)在点P(x0,y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个,如图所示.

知识点二导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率.

思考(1)曲线的割线与切线有什么关系？

(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？

答案(1)曲线的切线是由割线绕一点转动,当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.

(2)函数f(x)在x0处有导数,则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线,且在该点处的导数就是该切线的斜率.

函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0))处有切线,但函数f(x)在该点处不一定可导,如f(x)＝在x＝0处有切线,但不可导.

知识点三导函数的概念

对于函数y＝f(x),当x＝x0时,f′(x0)是一个确定的数,这样,当x变化时,f′(x)便是关于x的一个函数,称它为函数y＝f(x)的导函数,简称导数,也可记作y′,即f′(x)＝y′＝＝.

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数y′|就是函数y＝f(x)在开区间(a,b)(x∈(a,b))上的导数f′(x)在x＝x0处的函数值,即y′|＝f′(x0),所以函数y＝f(x)在x＝x0处的导数也记作f′(x0).

思考如何正确理解“函数f(x)在x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系？

答案“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值,是针对x0而言的,与给定的函数及x0的位置有关,而与Δx无关；“导函数”简称为“导数”,是一个函数,导函数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,而与x,Δx无关.

题型一求曲线的切线方程

1.求曲线在某点处的切线方程

例1求曲线y＝f(x)＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程.

解因为点(1,3)在曲线上,过点(1,3)的切线的斜率为f′(1)＝

＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(?Δx?3＋3?Δx?2＋2Δx,Δx)

＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[(Δx)2＋3Δx＋2]

＝2,

故所求切线方程为y－3＝2(x－1),

即2x－y＋1＝0.

反思与感悟若求曲线y＝f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程,其切线只有一条,点P(x0,y0)在曲线y＝f(x)上,且是切点,其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).

跟踪训练1(1)曲线f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋5在x＝1处切线的倾斜角为.

(2)曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线斜率为3,则点P的坐标为.

答案(1)π(2)(－1,－1)或(1,1)

解析(1)设切线的倾斜角为α,则

tanα＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)

＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?1＋Δx?－f?1?,Δx)

＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,3)?1＋Δx?3－?1＋Δx?2＋5－?\f(1,3)－1＋5?,Δx)

＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,3)?Δx?3－Δx,Δx)

＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[eq\f(1,3)(Δx)2－1]＝－1.

∵α∈[0,π),

∴α＝eq\f(3,4)π.

∴切线的倾斜角为eq\f(3,4)π.

(2)设点P的坐标为(x0,x),则有

eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)

＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3x\o\al(2,0)Δx＋3x0?Δx?