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第十三讲:充分、必要条件与子集推出关系
【复习要求】
理解命题的概念。
理解四种命题之间的内在联系;
掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义及判定;
【复习重点】
充分条件、必要条件的概念。
子集与推出关系等价性的理解与应用;
掌握判断命题推出关系的方法。
【复习难点】
判断命题的充分条件、必要条件。
子集与推出关系等价性的证明;
确定参数范围和判断推出关系。
【知识梳理】
一、充分条件与必要条件
我们在上一节课学习了命题与推出的关系,命题的四种形式,等价命题,你能分别概括出它们的内容和性质吗?
如:写出下列两个命题的条件和结论,并判断是真命题还是假命题?
(1)若x?a2?b2,则x?2ab, (2)若ab?0,则a?0.
易得出结论;命题(1)为真命题,命题(2)为假命题.
讨论:对于命题“若p,则q”,有时是真命题,有时是假命题.如何判断其真假的?我们将由此推出关系,引入新的概念:
给出定义:命题“若p,则q”为真命题,是指由p经过推理能推出q,也就是说,如果p成立,那么q一定成立.
换句话说,只要有条件p就能充分地保证结论q的成立,这时我们称条件p是q成立的充分条件.
一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由
p可推出q,记作:p?q.
1、充分与必要条件的概念:
充分条件:若???,则?是?的充分条件;
必要条件:若???,则?是?的必要条件;
充要条件:若既有???,又有???,则?是?的充分必要条件,简称充要条件,
?也是?的充要条件。
2、推出关系具有传递性:若???,???,则???,若???,???,则???,称?与?等价。
3、充要条件的证明:
证明过程必须是“双向”的,即:既要由条件推出结论(充分性),又要由结论推出条件(必要性)。
4、四种命题形式
如果原命题或原命题的逆否命题成立,则原命题的条件是结论成立的充分条件;如果原命题的否命题或逆命题成立,则原命题的条件是结论成立的必要条件;如果四种命题形式都成立,那么原命题的条件是结论成立的充要条件;
若四种命题形式都不成立,那么原命题的条件是结论成立的既不充分也不必要条件。
二、子集与推出关系
思考:
问题1:用“?”,“?”,“?”,“?”填空:
A={x︱x?1};B={x︱x?3}命题?:x?1;命题?:x?3
A ? B ;命题? ? 命题?
提问:通过以上例题,对集合间关系和推出关系你能得出什么结论?问题2:
命题?: x2?1是命题?:(x?1)(x?1)(x?2)?0的 充分不必要 条件
命题?: x2?1是命题?: x??1的 必要不充分 条件问题3:请写出?:x?3的一个充分条件?:
请写出?:x?3的一个必要条件?:
提问:你是如何找到这个条件的?
(学生容易得出“小范围的能推出大范围的”这一直观朴素的结论,这种口语化的表述还需进一步用准确的数学语言来表达,引导学生用集合间的“包含”或“包含于”的关系来刻画“范围”的大小关系)
从上面的例子我们发现?:x?5是?:x?3的充分条件,即???,如果将满足x?5
的元素组成集合A,即A?{xx?5},将满足x?3的元素组成集合B,即B?{xx?3},
可以得到:
如果A?B,那么???,反之亦然。所以子集和推出关系之间有着必然的联系,这就是本节课研究的子集与推出关系。
4、子集与推出关系:
设A??a|a具有性质??,B??b|b具有性质??,则A?B 与??? 等价。
5、子集与推出关系的各种表述形式:
已知集合A??a|a具有性质??,B??b|b具有性质??
①若A?B,则?是?的充分条件;
②若AüB,则?是?的充分不必要条件;
③若A?B,则?是?的必要条件;
④若AYB,则?是?的必要不充分条件;
⑤若A?B,则?是?的充要条件;
⑥若A?B,B?A则?是?的既不充分也不必要条件;
6、推出关系具有传递性:若???,???,则???,若???,???,则???,称?与?等价。
设A??a|a具有性质??,B??b|b具有性质??,则集合A、B之间的关系与?、?之
间的关系,可
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