充分必要条件与子集推出关系.docx

第十三讲：充分、必要条件与子集推出关系

【复习要求】

理解命题的概念。

理解四种命题之间的内在联系；

掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义及判定；

【复习重点】

充分条件、必要条件的概念。

子集与推出关系等价性的理解与应用；

掌握判断命题推出关系的方法。

【复习难点】

判断命题的充分条件、必要条件。

子集与推出关系等价性的证明；

确定参数范围和判断推出关系。

【知识梳理】

一、充分条件与必要条件

我们在上一节课学习了命题与推出的关系，命题的四种形式，等价命题，你能分别概括出它们的内容和性质吗？

如：写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

（1）若x?a2?b2，则x?2ab, （2）若ab?0，则a?0.

易得出结论；命题(1)为真命题，命题(2)为假命题．

讨论：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？我们将由此推出关系，引入新的概念：

给出定义：命题“若p，则q”为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．

换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由

p可推出q，记作：p?q．

1、充分与必要条件的概念：

充分条件：若???，则?是?的充分条件；

必要条件：若???，则?是?的必要条件；

充要条件：若既有???，又有???，则?是?的充分必要条件，简称充要条件，

?也是?的充要条件。

2、推出关系具有传递性：若???，???，则???，若???，???，则???，称?与?等价。

3、充要条件的证明：

证明过程必须是“双向”的，即：既要由条件推出结论（充分性），又要由结论推出条件（必要性）。

4、四种命题形式

如果原命题或原命题的逆否命题成立，则原命题的条件是结论成立的充分条件；如果原命题的否命题或逆命题成立，则原命题的条件是结论成立的必要条件；如果四种命题形式都成立，那么原命题的条件是结论成立的充要条件；

若四种命题形式都不成立，那么原命题的条件是结论成立的既不充分也不必要条件。

二、子集与推出关系

思考：

问题1：用“?”，“?”，“?”，“?”填空：

A=｛x︱x?1｝；B=｛x︱x?3｝命题?：x?1；命题?：x?3

A ? B ；命题? ? 命题?

提问：通过以上例题，对集合间关系和推出关系你能得出什么结论？问题2:

命题?: x2?1是命题?:(x?1)(x?1)(x?2)?0的 充分不必要 条件

命题?: x2?1是命题?: x??1的 必要不充分 条件问题3：请写出?:x?3的一个充分条件?:

请写出?:x?3的一个必要条件?:

提问：你是如何找到这个条件的？

（学生容易得出“小范围的能推出大范围的”这一直观朴素的结论，这种口语化的表述还需进一步用准确的数学语言来表达，引导学生用集合间的“包含”或“包含于”的关系来刻画“范围”的大小关系）

从上面的例子我们发现?:x?5是?:x?3的充分条件，即???，如果将满足x?5

的元素组成集合A，即A?{xx?5},将满足x?3的元素组成集合B，即B?{xx?3},

可以得到：

如果A?B，那么???，反之亦然。所以子集和推出关系之间有着必然的联系，这就是本节课研究的子集与推出关系。

4、子集与推出关系：

设A??a|a具有性质??,B??b|b具有性质??，则A?B 与??? 等价。

5、子集与推出关系的各种表述形式：

已知集合A??a|a具有性质??,B??b|b具有性质??

①若A?B,则?是?的充分条件；

②若AüB,则?是?的充分不必要条件；

③若A?B,则?是?的必要条件；

④若AYB,则?是?的必要不充分条件；

⑤若A?B，则?是?的充要条件；

⑥若A?B,B?A则?是?的既不充分也不必要条件；

6、推出关系具有传递性：若???，???，则???，若???，???，则???，称?与?等价。

设A??a|a具有性质??，B??b|b具有性质??，则集合A、B之间的关系与?、?之

间的关系，可