用空间向量研究距离、夹角问题 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

第一章空间向量与立体几何

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题;

能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互

平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平

行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描

述解决这一类问题的程序.;

点到直线的距离

如图，向量AP在直线1上的投影向量为AQ,则△APQ是直角三角形.

设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u.在Rt△APQ中，;

点到平面的距离

如图，已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点，P是平面α

外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方

向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线1上的投影向量QP的;

例1如图，在棱长为1的正方体ABCD-A?B?C?D?中，E为线段A?B?的

中点，F为线段AB的中点.

(1)求点B到直线AC?的距离；

(2)求直线FC到平面AEC?的距离

解：以D?为原点，D?A,DC,D?D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C?(0,1,0)

,1

所以AB=(0,1,0),AC?=(-1,1,-1),,,;

所,所以,取z=1,则x=1,y=2.

所以n=(1,2,1)是平面AEC?的一个法向量.

又因为

所以点F到平面AEC?的距离为

即直线FC到平面AEC?的距离为;

(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问

题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系

以及它们之间的距离和夹角等问题；

(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.;

例2如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，

M,N分别为BC,AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.;

又△ABC和△ACD均为等边三角形，所以

所以

所以直线AM和CN夹角的余弦值为;

一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向

向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线，l?所成的角为θ,其方向;

直线与平面所成的角

直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.

??图，直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线

AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则;

二面角

如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，这四个

二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.;

例3如图，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AC=CB=2,AA?=3,

∠ACB=90°,P为BC的中点，点Q,R分别在棱AA,BB?上，AQ=2AQ,

BR=2RB?.求平面PQR与平面A?B?C夹角的余弦值.;

解：以C?为原点，C?A,C?B,C?C所在直线为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

设平面A?B?C的法向量为n,平面PQR的法向量为n?,则平面PQR与

平面A?B?C的夹角就是n与n?的夹角或其补角

因为C?C⊥平面A?B?C,所以平面A?B?C?的一个法向量为n?=(0,0,1).

根据所建立的空间直角坐标系，可知P(0,1,3),Q(2,0,2),R(0,2,1).所以PQ=(2,-1,-1),PR=(0,1,-2).;

例4下图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，

每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg,每根

绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小

(重力加速度g取9.8m/s2,精确到0.01N).;

又因为降落伞匀速下落，所以IF合I=IG礼物I=1×9.8=9.8(N)

所以4√3|F|n=9.8.

所以;

(1)求证：PA//平面EDB;

(2)求证：PB⊥平面EFD;

(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.;

解：以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.设DC=1.

(1)连接AC,交BD